Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 5 mP₁ = 25 kN tại 1,5 mP₂ = 45 kN tại 3,5 m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 10 mP = 25 kN tại 2 mw = 3 kN/m từ 3 đến 9 m

R_B = kN

3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M₀ = 30 kN·m tại x = 1,5 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn M_x ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 5 mM₀ = 30 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 1,5 m

M_x = kN·m

4.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm khoảng cách x₀ từ A đến mặt cắt có mô-men uốn lớn nhất.

L = 8 mw = 4 kN/m từ 3 đến 7 m

x₀ = m

5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 2 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 20 kN

F_AB = kN

6.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 4 mB cách A 5 mtải thẳng đứng = 15 kNtải ngang = 20 kN →

F_AB = kN

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 0,5 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 20 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm phản lực R_B tại gối chống.

L = 4 mw = 15 kN/m

R_B = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 80 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 80 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 39 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 45·3,5

R_B = 195/5 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 39 = 31 kN

Đáp số

R_B = 39 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 15,8 kN

Sơ đồ vật thể tự do

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, đặt tại x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·2 + 3·6·6

R_B = 158/10 = 15,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 15,8 = 27,2 kN

Đáp số

R_B = 15,8 kN

3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 21 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: R_B·L − M₀ = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/5 = 6 kN (hướng lên)

R_A = −R_B = −6 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa R_A và ngẫu lực.

M_x = R_A·a + M₀ = −6·1,5 + 30 = 21 kN·m

Đáp số

M_x = 21 kN·m

4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: x₀ = 4,5 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·4·5

R_B = 80/8 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 10 = 6 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng R_A, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 6/4 = 4,5 m

Đáp số

x₀ = 4,5 m

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −9,014 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0,5547 = −9,014 kN

Đáp số

F_AB = −9,014 kN (nén)

6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = 7,003 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·5 + 20·4 → C_y = 19,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 19,38 = −4,375 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−4,375/0,6247 = 7,003 kN

Đáp số

F_AB = 7,003 kN (kéo)

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 14,38 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 20000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,9921 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002976 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 14,38 mm

Đáp số

δ_B = 14,38 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: R_B = 22,5 kN

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống R_B nâng đầu tự do lên một đoạn R_BL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

Đáp số

R_B = 22,5 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 6,884 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2800² = 6884 N = 6,884 kN

Đáp số

P_cr = 6,884 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 50,7 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 50,7 mm

Đáp số

d = 50,7 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 157,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis