Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m2 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.

L = 6 mP1 = 55 kN tại 3 mP2 = 10 kN tại 4 m
RA = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
w0​ = 20 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?1,5 m3,5 m

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải thay đổi tuyến tính bằng không tại tường và tăng đến 20 kN/m tại đầu tự do B, cùng một lực tập trung P tại vị trí cách tường 1,5 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 70 kN tại 1,5 m
MA = kN·m
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 30 kNP2​ = 80 kNAB1 m3,5 m1,5 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mP1 = 30 kN tại 1 mP2 = 80 kN tại 4,5 m
Mmax = kN·m
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 6 kN/mABC8 m1,5 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mmax giữa hai gối.

L = 9,5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 9,5 mcác gối tại x = 0 và x = 8 m
Mmax = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB35 kN5 m2 m3 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 3 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 35 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB60 kN15 kN4 m1 m4 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 4 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 60 kNtải ngang = 15 kN →
FBC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 8 kN/mABθ6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θA của dầm tại gối A, theo radian.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Độ võng của dầmKhó
P = 20 kNABδ5,5 m2,5 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối B một đoạn b = 2,5 m. Tìm độ võng δmid tại giữa nhịp.

P = 20 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (nhôm)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 m50 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 30,83 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​3 m1 m2 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·3 + 10·4
RB = 205/6 = 34,17 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 34,17 = 30,83 kN

Đáp số

RA = 30,83 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: MA = 271,7 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng RA và một mô-men phản lực MA. ΣFy = 0 cho RA, và mô-men đối với tường cho MA = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Mô-men đối với tường

MA = W·x̄ + P·a = 50·3,333 + 70·1,5 = 271,7 kN·m

Đáp số

MA = 271,7 kN·m
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 97,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·1 + 80·4,5
RB = 390/6 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 65 = 45 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·1 = 45·1 = 45 kN·m
dưới P2: M = RB·1,5 = 65·1,5 = 97,5 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 97,5 kN·m (dưới P2)

Đáp số

Mmax = 97,5 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 44,68 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·9,5 = 57 kN, đặt tại x̄ = 4,75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·9,5·4,75
RB = 270,8/8 = 33,84 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 33,84 = 23,16 kN

Lực cắt bằng không

RA − w·x0 = 0 → x0 = 23,16/6 = 3,859 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 23,16²/(2·6) = 44,68 kN·m

Đáp số

Mmax = 44,68 kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAB = −25,24 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·2 → Cy = 14 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 14 = 21 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21/0,8321 = −25,24 kN

Đáp số

FAB = −25,24 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FBC = −37,5 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB60 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 + 15·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 30 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,8 = −37,5 kN

Đáp số

FBC = −37,5 kN (nén)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: θA = 0,03 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θA = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·2,4 × 10¹²) = 0,03 rad

Đáp số

θA = 0,03 rad

Đó là 1,719°.

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δmid = 15,53 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 20000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Độ võng tại giữa nhịp

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 20000·2500·(3·8000² − 4·2500²)/(48·1,12 × 10¹³) = 15,53 mm

Đáp số

δmid = 15,53 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 157,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2800² = 157360 N = 157,4 kN

Đáp số

Pcr = 157,4 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 27,76 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Đáp số

σcr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis