Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải phân bố đều w từ tường đến 3 m và một lực tập trung P tại vị trí cách tường 2 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

L = 4 mP = 10 kN tại 2 mw = 5 kN/m từ 0 đến 3 m

M_A = kN·m

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 5 mP = 50 kN tại 1,5 mw = 2 kN/m từ 3 đến 4 m

R_A = kN

3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

25 kN @ 1 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Lực cắt và mômen uốnKhó

45 kN @ 6 m6 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 4 mB cách A 7 mtải thẳng đứng = 35 kN

F_AB = kN

6.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 3 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 55 kNtải ngang = 25 kN →

F_AB = kN

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối B một đoạn b = 2 m. Tìm độ võng δ_mid tại giữa nhịp.

P = 20 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 42,5 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải phân bố

W = 5·3 = 15 kN, x̄ = 1,5 m

Mô-men đối với tường

M_A = P·a + W·x̄ = 10·2 + 15·1,5 = 42,5 kN·m

Đáp số

M_A = 42,5 kN·m

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 35,6 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, đặt tại x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,5 + 2·1·3,5

R_B = 82/5 = 16,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 16,4 = 35,6 kN

Đáp số

R_A = 35,6 kN

3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 27,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 32,5, M_C = 40, M_D = 47,5, M_E = 55 kN·m, M_F = 27,5, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = 55 kN·m

4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 5 m)

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 6 kN, R₂ = 69 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 3, M_C = 0, M_D = −9, M_E = −24, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: M_F = −45 kN·m

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −8,818 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 → C_y = 30,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30,63 = 4,375 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4,375/0,4961 = −8,818 kN

Đáp số

F_AB = −8,818 kN (nén)

6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −23,72 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 + 25·3 → C_y = 32,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 32,5 = 22,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,9487 = −23,72 kN

Đáp số

F_AB = −23,72 kN (nén)

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 76,7 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 76,7 mm

Đáp số

δ_max = 76,7 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_mid = 10,65 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 20000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Độ võng tại giữa nhịp

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 20000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·7,2 × 10¹²) = 10,65 mm

Đáp số

δ_mid = 10,65 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 15,99 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·3000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/6000² = 15992 N = 15,99 kN

Đáp số

P_cr = 15,99 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 12,34 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/20 = 400

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Đáp số

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis