Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 40 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?5 m2 m3 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.

L = 10 mP1 = 40 kN tại 5 mP2 = 10 kN tại 7 m
RB = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
w = 2 kN/mP = 40 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m2 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.

L = 5 mP = 40 kN tại 2 mw = 2 kN/m từ 2 đến 3 m
RA = kN
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 30 kN·mAB1 m9 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 30 kN·m tại x = 1 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 10 mM0 = 30 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 1 m
Mx = kN·m
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mABC6 m1,5 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm khoảng cách xc từ A đến điểm đổi dấu mô-men giữa hai gối (nơi mô-men uốn đổi dấu).

L = 7,5 mw = 2 kN/m từ 0 đến 7,5 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m
xc = m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB45 kN4 m3 m2 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 2 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 45 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB20 kN15 kN5 m4 m4 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 4 mB cách A 4 mtải thẳng đứng = 20 kNtải ngang = 15 kN ←
FBC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
P = 4 kNABδ1 m5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 4 kNa = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 135 kNL = 5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 135 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 135 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 27 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 40 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​5 m2 m3 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·10 = 40·5 + 10·7
RB = 270/10 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 27 = 23 kN

Đáp số

RB = 27 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 25 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

w = 2 kN/mP = 40 kNABRA​RB​2 m1 m2 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2 + 2·1·2,5
RB = 85/5 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 42 − 17 = 25 kN

Đáp số

RA = 25 kN
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 27 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 30/10 = 3 kN (hướng lên)
RA = −RB = −3 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa RA và ngẫu lực.

Mx = RA·a + M0 = −3·1 + 30 = 27 kN·m

Đáp số

Mx = 27 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: xc = 5,625 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·7,5 = 15 kN, đặt tại x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·7,5·3,75
RB = 56,25/6 = 9,375 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 9,375 = 5,625 kN

Mô-men bằng không

Giữa hai gối M(x) = RA·x − w·x²/2. Ngoài x = 0, nó bằng không tại x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·5,625/2 = 5,625 m

Đáp số

xc = 5,625 m
5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAB = −20,28 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11,25/0,5547 = −20,28 kN

Đáp số

FAB = −20,28 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FBC = −4,123 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 − 15·4 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 4 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4/0,9701 = −4,123 kN

Đáp số

FBC = −4,123 kN (nén)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 2,241 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 4000 N, a = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa³/(3EI) = 4000·1000³/(3·5,95 × 10¹¹) = 2,241 mm

Đáp số

δP = 2,241 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16,67) = 5,523 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 347,3 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Đáp số

Pcr = 347,3 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 91,36 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 91,36 mm

Đáp số

d = 91,36 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 218,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis