Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 35 kNP2​ = 60 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m4 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.

L = 6 mP1 = 35 kN tại 1 mP2 = 60 kN tại 2 m
RA = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
P = 60 kN, 45°Q = 50 kNABRA​ = ?1,5 m3,5 m1 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 1,5 m, nghiêng 45° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 5 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực RA tại gối cố định A.

L = 6 mP = 60 kN tại 1,5 m, θ = 45°Q = 50 kN tại 5 m
RA = kN
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
6 kN/m50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 6 m6 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 3 kN/mP = 25 kNABmặt cắt4 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 25 kN tại 4 mw = 3 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB50 kN5 m4 m3 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 3 mB cách A 4 mtải thẳng đứng = 50 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB40 kN20 kN4 m1 m2 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 2 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 40 kNtải ngang = 20 kN ←
FAB = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 2 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 1,5 kN/mABδ5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm
hreq = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 6 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 69,17 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 35 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1 m1 m4 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·1 + 60·2
RB = 155/6 = 25,83 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 25,83 = 69,17 kN

Đáp số

RA = 69,17 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 58,41 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Các thành phần của P

Pv = 60·sin 45° = 42,43 kN
Ph = 60·cos 45° = 42,43 kN

Các phản lực

ΣMA = 0: RB·6 = 42,43·1,5 + 50·5 → RB = 52,27 kN
Ay = 42,43 + 50 − 52,27 = 40,15 kN
Ax = Ph = 42,43 kN

Hợp lực tại A

RA = √(42,43² + 40,15²) = 58,41 kN

Đáp số

RA = 58,41 kN
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 41 kN, R2 = 57 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 82, MC = 164, MD = 234 kN·m, ME = 180, MF = 102, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 234 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 26 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·4 + 3·5·2,5
RB = 137,5/5 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 27,5 = 12,5 kN
w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​ = 12,5RB​ = 27,5mặt cắt4 m1 m

Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 12,5·4 − 3·4·2 = 26 kN·m

Đáp số

Mx = 26 kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAB = −16,67 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 40 = 10 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,6 = −16,67 kN

Đáp số

FAB = −16,67 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAB = −44,72 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB40 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 − 20·2 → Cy = 0 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 0 = 40 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −40/0,8944 = −44,72 kN

Đáp số

FAB = −44,72 kN (nén)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 25,57 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 25,57 mm

Đáp số

δmax = 25,57 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 212,4 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·7,99 × 10⁷/100)1/3 = 212,4 mm

Đáp số

hreq = 212,4 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 4,205 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·6000 = 12000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/12000² = 4205 N = 4,205 kN

Đáp số

Pcr = 4,205 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 35,25 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/10 = 140

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Đáp số

σcr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis