Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
w = 5 kN/mP = 80 kNABMA​ = ?1,5 m2,5 m

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách tường 1,5 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.

L = 4 mP = 80 kN tại 1,5 mw = 5 kN/m từ 0 đến 4 m
MA = kN·m
2.Phản lực gối của dầmKhó
P = 15 kNQ = 30 kNADCRD​ = ?2 m0,5 m1,5 m2 m

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 2,5 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 6 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 4 m và một lực tập trung Q tại vị trí cách A 2 m. Tìm phản lực RD tại gối con lăn.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 15 kN tại 4 mQ = 30 kN tại 2 m
RD = kN
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 35 kN·mAB5 m3 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 35 kN·m tại x = 5 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 8 mM0 = 35 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 5 m
Mx = kN·m
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 12 kN/mP = 75 kNAB5 m3 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 8 mP = 75 kN tại 5 mw = 12 kN/m từ 0 đến 8 m
Mmax = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB40 kN6 m2 m3 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 3 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 40 kN
FBC = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABCDEFGH30 kN20 kN10 kN10 kN25 kN4 × 4 m3 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 30 kN ↓C: 20 kN ↓D: 10 kN ↓H: 10 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh FC
  13. 13thanh HC
7.Độ võng của dầmTrung bình
P = 11 kNABδ2 m3 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 2 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 11 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mδL = 2 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 35 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 35 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 35 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: MA = 160 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng RA và một mô-men phản lực MA. ΣFy = 0 cho RA, và mô-men đối với tường cho MA = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải phân bố

W = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m

Mô-men đối với tường

MA = P·a + W·x̄ = 80·1,5 + 20·2 = 160 kN·m

Đáp số

MA = 160 kN·m
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RD = 6,429 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

ΣMC = 0: RD·3,5 = 15·1,5
RD = 6,429 kN
VC = 15 − 6,429 = 8,571 kN

Đáp số

RD = 6,429 kN
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 13,13 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/8 = 4,375 kN (hướng lên)
RA = −RB = −4,375 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa RA và ngẫu lực.

Mx = RA·a + M0 = −4,375·5 + 35 = 13,13 kN·m

Đáp số

Mx = 13,13 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 230,6 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 75·5 + 12·8·4
RB = 759/8 = 94,88 kN
ΣFy = 0: RA = 171 − 94,88 = 76,13 kN

V = 0 ở đâu?

V(5⁻) = RA − w·5 = 16,13 kN
V(5⁺) = 16,13 − 75 = −58,88 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 76,13·5 − 12·5²/2 = 230,6 kN·m

Đáp số

Mmax = 230,6 kN·m

Nó xảy ra tại x = 5 m tính từ A.

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FBC = −22,22 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 13,33 = 26,67 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13,33/0,6 = −22,22 kN

Đáp số

FBC = −22,22 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút G

FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 31,25 kN (T), BC: 31,25 kN (T), CD: 37,08 kN (T), DE: 37,08 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 70,31 kN (C), HE: 46,35 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 20,31 kN (T), HC: 13,02 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: CG
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 1,571 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 11000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·2000²·3000²/(3·1,68 × 10¹³·5000) = 1,571 mm

Đáp số

δP = 1,571 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 20,45 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2000⁴/(384·11000·5,556) = 2,045 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 20,45 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 20,45 × 10⁶ mm⁴
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 160,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160,2 kN

Đáp số

Pcr = 160,2 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 46,42 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 46,42 mm

Đáp số

d = 46,42 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 129,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis