Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách tường 8 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

L = 10 mP = 75 kN tại 8 mw = 6 kN/m từ 0 đến 10 m

M_A = kN·m

2.Phản lực gối của dầmKhó

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 3,5 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 6 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 5 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 25 kN tại 5 m

M_A = kN·m

3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 8 kN/m từ 0 đến 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

4.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 8 mP = 70 kN tại 5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 8 m

M_max = kN·m

5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 4 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 10 kN

F_AC = kN

6.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 4 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 25 kNtải ngang = 15 kN →

F_AB = kN

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 4 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối B một đoạn b = 1 m. Tìm độ võng δ_mid tại giữa nhịp.

P = 15 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (thép)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 115 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 115 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 900 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải phân bố

W = 6·10 = 60 kN, x̄ = 5 m

Mô-men đối với tường

M_A = P·a + W·x̄ = 75·8 + 60·5 = 900 kN·m

Đáp số

M_A = 900 kN·m

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 35 kN·m

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 25·1,5

R_D = 15 kN

V_C = 25 − 15 = 10 kN

Phần AC

Lực khớp V_C tác dụng hướng xuống lên AC (bằng và ngược chiều với tác dụng của nó lên CD).

R_A = 10 = 10 kN

M_A = 10·3,5 = 35 kN·m

Đáp số

M_A = 35 kN·m

3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 20·2,5 − 8·2,5·1,25 = 25 kN·m

Đáp số

M_x = 25 kN·m

4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 206,3 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, đặt tại x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·5 + 10·8·4

R_B = 670/8 = 83,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 83,75 = 66,25 kN

V = 0 ở đâu?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 16,25 kN

V(5⁺) = 16,25 − 70 = −53,75 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 66,25·5 − 10·5²/2 = 206,3 kN·m

Đáp số

M_max = 206,3 kN·m

Nó xảy ra tại x = 5 m tính từ A.

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AC = 3,333 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·2 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 3,333 = 6,667 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,7071 = −4,714 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,714)·0,7071 = 3,333 kN

Đáp số

F_AC = 3,333 kN (kéo)

6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −11,17 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·1 + 15·4 → C_y = 14,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 14,17 = 10,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10,83/0,9701 = −11,17 kN

Đáp số

F_AB = −11,17 kN (nén)

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 31,95 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 4000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·3000³/(3·5,88 × 10¹²) = 6,122 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 25,83 mm

Cộng lại

δ = 6,122 + 25,83 = 31,95 mm

Đáp số

δ = 31,95 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_mid = 1,206 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Độ võng tại giữa nhịp

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·1,14 × 10¹³) = 1,206 mm

Đáp số

δ_mid = 1,206 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 197,7 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197,7 kN

Đáp số

P_cr = 197,7 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 50,83 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50,83 mm

Đáp số

d = 50,83 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 118, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis