Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.

L = 5 mP1 = 15 kN tại 1,5 mP2 = 55 kN tại 4 m
RB = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
P = 45 kN, 40°Q = 10 kNABRA​ = ?6 m3 m1 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 9 m, nghiêng 40° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 6 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực RA tại gối cố định A.

L = 10 mP = 45 kN tại 9 m, θ = 40°Q = 10 kN tại 6 m
RA = kN
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 60 kNP2​ = 50 kNABC2 m2 m1,5 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P1 giữa hai gối và một lực tập trung P2 tại C. Tìm lực cắt Vx ngay bên trái gối B. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 5,5 mP1 = 60 kN tại 2 mP2 = 50 kN tại 5,5 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
Vx = kN
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 5 kN/mP = 40 kNAB2,5 m1,5 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 4 mP = 40 kN tại 2,5 mw = 5 kN/m từ 0 đến 4 m
Mmax = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB25 kN4 m3 m3 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 3 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 25 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB25 kN15 kN5 m1 m4 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 4 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 25 kNtải ngang = 15 kN ←
FAC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
P = 29 kNABδ1,5 m0,5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 2 kN/mABδ4,5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 100 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/300. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 100 mm
hreq = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 4 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 48,5 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1,5 m2,5 m1 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1,5 + 55·4
RB = 242,5/5 = 48,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 48,5 = 21,5 kN

Đáp số

RB = 48,5 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 35,15 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Các thành phần của P

Pv = 45·sin 40° = 28,93 kN
Ph = 45·cos 40° = 34,47 kN

Các phản lực

ΣMA = 0: RB·10 = 28,93·9 + 10·6 → RB = 32,03 kN
Ay = 28,93 + 10 − 32,03 = 6,893 kN
Ax = Ph = 34,47 kN

Hợp lực tại A

RA = √(34,47² + 6,893²) = 35,15 kN

Đáp số

RA = 35,15 kN
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = −48,75 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣMA = 0: RB·4 = 60·2 + 50·5,5
RB = 395/4 = 98,75 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 98,75 = 11,25 kN

Cắt ngay bên trái B và giữ phần bên trái

Vx = RA − P1 = 11,25 − 60 = −48,75 kN

Đáp số

Vx = −48,75 kN
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 46,88 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2,5 + 5·4·2
RB = 140/4 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 35 = 25 kN

V = 0 ở đâu?

V(2,5⁻) = RA − w·2,5 = 12,5 kN
V(2,5⁺) = 12,5 − 40 = −27,5 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·2,5 − w·2,5²/2 = 25·2,5 − 5·2,5²/2 = 46,88 kN·m

Đáp số

Mmax = 46,88 kN·m

Nó xảy ra tại x = 2,5 m tính từ A.

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAB = −8,839 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,25/0,7071 = −8,839 kN

Đáp số

FAB = −8,839 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAC = −7 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB25 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 − 15·4 → Cy = −7 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −7 = 32 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−7/0,7071 = 9,899 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(9,899)·0,7071 = −7 kN

Đáp số

FAC = −7 kN (nén)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δB = 4,369 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δP = Pa³/(3EI) = 2,913 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,002913 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,369 mm

Đáp số

δB = 4,369 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 198 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·15) = 6,472 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·6,472 × 10⁷/100)1/3 = 198 mm

Đáp số

hreq = 198 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 27,04 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/700² = 27035 N = 27,04 kN

Đáp số

Pcr = 27,04 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 9,835 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/6,25 = 448

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9,835 MPa

Đáp số

σcr = 9,835 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis