Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 15 kNP2​ = 40 kNABCRB​ = ?0,5 m2 m1,5 m

Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 2,5 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Tìm phản lực thẳng đứng RB, lấy chiều hướng lên là dương.

AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 15 kN tại 0,5 mP2 = 40 kN tại 4 m
RB = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
w = 10 kN/mP = 40 kNQ = 75 kNADCMA​ = ?1 m5 m1 m3 m

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 6 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 10 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 7 m, một tải phân bố đều w trên toàn bộ đoạn CD và một lực tập trung Q tại vị trí cách A 1 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.

AC = 6 mAD = 10 mP = 40 kN tại 7 mw = 10 kN/m từ 6 đến 10 mQ = 75 kN tại 1 m
MA = kN·m
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 50 kN·mAB9 m1 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 50 kN·m tại x = 9 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 10 mM0 = 50 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 9 m
Mx = kN·m
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 6 kN/mP = 30 kNABmặt cắt1 m2 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mP = 30 kN tại 1 mw = 6 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABCDEFGH40 kN30 kN15 kN4 × 3 m3 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 40 kN ↓C: 30 kN ↓D: 15 kN ↓
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh FC
  13. 13thanh HC
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABCDEFGH20 kN40 kN15 kN25 kN4 × 4 m4 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

D: 20 kN ↓F: 40 kN →G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh BG
  13. 13thanh DG
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 12 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mAB4 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 4 mw = 6 kN/m
RB = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1,5 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 67 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 15·0,5 + 40·4
RB = 167,5/2,5 = 67 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

RA = 15 + 40 − 67 = −12 kN

Đáp số

RB = 67 kN

RA âm: gối cố định tại A phải giữ dầm xuống.

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: MA = 375 kN·m

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

W = 10·4 = 40 kN tại 2 m từ C
ΣMC = 0: RD·4 = 40·1 + 40·2
RD = 30 kN
VC = 80 − 30 = 50 kN

Phần AC

Lực khớp VC tác dụng hướng xuống lên AC (bằng và ngược chiều với tác dụng của nó lên CD).

RA = 75 + 50 = 125 kN
MA = 75·1 + 50·6 = 375 kN·m

Đáp số

MA = 375 kN·m
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 50/10 = 5 kN (hướng lên)
RA = −RB = −5 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa RA và ngẫu lực.

Mx = RA·a + M0 = −5·9 + 50 = 5 kN·m

Đáp số

Mx = 5 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 16,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 6·4·2
RB = 78/4 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 19,5 = 34,5 kN
w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​ = 34,5RB​ = 19,5mặt cắt1 m2 m1 m

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 34,5·3 − 30·(3 − 1) − 6·3·1,5 = 16,5 kN·m

Đáp số

Mx = 16,5 kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút G

FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 36,25 kN (T), DE: 36,25 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 51,27 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 12,37 kN (T), HC: 30,05 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: CG
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút C

BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 48,75 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 48,75 kN (C), GH: 51,25 kN (C), AF: 12,37 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 26,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 8,839 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: CG
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 8,566 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 8,566 mm

Đáp số

δmax = 8,566 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 9 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

Đáp số

RB = 9 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 67,29 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Đáp số

Pcr = 67,29 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 30,71 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Đáp số

σcr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis