Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 15 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?4 m1 m3 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.

L = 8 mP1 = 15 kN tại 4 mP2 = 60 kN tại 5 m
RB = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?2 m5 m1 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.

L = 8 mP = 35 kN tại 2 mw = 2 kN/m từ 2 đến 7 m
RB = kN
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
12 kN/m45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

45 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 5 kN/mP = 15 kNAB1 m4 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 5 mP = 15 kN tại 1 mw = 5 kN/m từ 0 đến 5 m
Mmax = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB15 kN5 m2 m3 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 3 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 15 kN
FBC = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB35 kN15 kN4 m3 m2 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 2 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 35 kNtải ngang = 15 kN →
FBC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 2 kN/mδL = 2,5 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Độ võng của dầmKhó
P = 35 kNAB2,5 m2,5 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 5 mP = 35 kN tại 2,5 m
RB = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 m40 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 95 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 95 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 95 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 45 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 15 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​4 m1 m3 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·4 + 60·5
RB = 360/8 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 45 = 30 kN

Đáp số

RB = 45 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 14,38 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​RB​2 m5 m1 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, đặt tại x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 2·5·4,5
RB = 115/8 = 14,38 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 14,38 = 30,63 kN

Đáp số

RB = 14,38 kN
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 94,5 kN, R2 = 94,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 165, MC = 282, MD = 351 kN·m, ME = 282, MF = 165, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: MD = 351 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 24,02 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 5·5·2,5
RB = 77,5/5 = 15,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 15,5 = 24,5 kN

V = 0 ở đâu?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (24,5 − 15)/5 = 1,9 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 24,02 kN·m

Đáp số

Mmax = 24,02 kN·m

Nó xảy ra tại x = 1,9 m tính từ A.

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FBC = −8,485 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·2 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 6 = 9 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6/0,7071 = −8,485 kN

Đáp số

FBC = −8,485 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FBC = −37,73 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 15·2 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 33,75 = 1,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33,75/0,8944 = −37,73 kN

Đáp số

FBC = −37,73 kN (nén)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 11,63 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 11,63 mm

Đáp số

δ = 11,63 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 10,94 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Đáp số

RB = 10,94 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 167,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1050² = 167104 N = 167,1 kN

Đáp số

Pcr = 167,1 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 64,81 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 64,81 mm

Đáp số

d = 64,81 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 185,1, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis