Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?2,5 m0,5 m3 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.

L = 6 mP1 = 50 kN tại 2,5 mP2 = 15 kN tại 3 m
RB = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
P = 25 kNQ = 15 kNADCRD​ = ?2 m1 m2 m3 m

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 3 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 8 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 5 m và một lực tập trung Q tại vị trí cách A 2 m. Tìm phản lực RD tại gối con lăn.

AC = 3 mAD = 8 mP = 25 kN tại 5 mQ = 15 kN tại 2 m
RD = kN
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 10 kN/mABmặt cắt6 m2 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 6 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 10 kN/m từ 0 đến 8 mx = 6 m
Mx = kN·m
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 6 kN/mP = 15 kNABmặt cắt2,5 m1,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mP = 15 kN tại 2,5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB30 kN8 m7 m4 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 4 mB cách A 7 mtải thẳng đứng = 30 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB25 kN5 kN6 m2 m4 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 4 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 25 kNtải ngang = 5 kN ←
FBC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 8 kN/mABθ2 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θA của dầm tại gối A, theo radian.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Độ võng của dầmKhó
w = 8 kN/mP = 8 kNδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 8 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 20 kNL = 5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 20 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 20 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 28,33 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m3 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·6 = 50·2,5 + 15·3
RB = 170/6 = 28,33 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 28,33 = 36,67 kN

Đáp số

RB = 28,33 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RD = 10 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

ΣMC = 0: RD·5 = 25·2
RD = 10 kN
VC = 25 − 10 = 15 kN

Đáp số

RD = 10 kN
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 60 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40mặt cắt6 m2 m

Cắt tại x = 6 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 40·6 − 10·6·3 = 60 kN·m

Đáp số

Mx = 60 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 25,31 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·2,5 + 6·4·2
RB = 85,5/4 = 21,38 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 21,38 = 17,63 kN
w = 6 kN/mP = 15 kNABRA​ = 17,63RB​ = 21,38mặt cắt2,5 m1,5 m

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 17,63·2,5 − 6·2,5·1,25 = 25,31 kN·m

Đáp số

Mx = 25,31 kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAB = −7,558 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 26,25 = 3,75 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,75/0,4961 = −7,558 kN

Đáp số

FAB = −7,558 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FBC = −7,071 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·2 − 5·4 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 5 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,7071 = −7,071 kN

Đáp số

FBC = −7,071 kN (nén)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: θA = 0,006734 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Góc xoay ở đầu

θA = wL³/(24EI) = 8·2000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,006734 rad

Đáp số

θA = 0,006734 rad

Đó là 0,3858°.

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 14 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 8000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 4,87 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 9,131 mm

Cộng lại

δmax = 4,87 + 9,131 = 14 mm

Đáp số

δmax = 14 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 56,25 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2100² = 56247 N = 56,25 kN

Đáp số

Pcr = 56,25 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 104,2 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 104,2 mm

Đáp số

d = 104,2 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 383,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis