Phiếu bài tập Tối ưu hóa có đáp án

Một nông dân có 200 m hàng rào để rào một thửa ruộng hình chữ nhật dọc theo một con sông thẳng. Không cần rào phía bờ sông. Tìm độ dài x của mỗi cạnh vuông góc với sông để diện tích lớn nhất.

Một chiếc hộp hở được làm từ một tấm bìa cứng hình chữ nhật 18 cm × 48 cm bằng cách cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh x ở bốn góc rồi gập các cạnh lên. Tìm độ dài cạnh cắt x cho thể tích lớn nhất.

Một chiếc hộp hở (không nắp) có đáy vuông phải chứa được 108000 cm³. Dùng ít vật liệu nhất có thể, tức là tổng diện tích đáy và bốn mặt bên nhỏ nhất. Tìm diện tích bề mặt nhỏ nhất S.

Một mảnh đất hình chữ nhật diện tích 1200 m² được rào cả bốn phía. Cạnh dọc theo mặt đường, dài x, tốn €25 mỗi mét; ba cạnh còn lại tốn €10 mỗi mét. Tìm tổng chi phí nhỏ nhất C.

Một doanh nghiệp nhỏ bán sản phẩm với giá thị trường cố định €45 mỗi sản phẩm. Sản xuất q sản phẩm tốn chi phí C(q) = 18400 + 10q + 0,01q² euro. Tìm lợi nhuận lớn nhất P.

Một nhà hát bán 1700 vé mỗi suất diễn với giá €12 mỗi vé. Nghiên cứu thị trường cho thấy cứ tăng giá vé €1 thì bán được ít hơn 50 vé (và cứ giảm €1 thì bán thêm 50 vé). Tìm doanh thu lớn nhất R mỗi suất diễn.