Phiếu bài tập Tối ưu hóa có đáp án

Một nông dân có 240 m hàng rào để rào một thửa ruộng hình chữ nhật dọc theo một con sông thẳng. Không cần rào phía bờ sông. Tìm diện tích lớn nhất A có thể rào được.

Một chiếc hộp hở được làm từ một tấm bìa cứng hình chữ nhật 21 cm × 45 cm bằng cách cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh x ở bốn góc rồi gập các cạnh lên. Tìm độ dài cạnh cắt x cho thể tích lớn nhất.

Một hộp trụ kín (có nắp trên và đáy) phải chứa được 355 cm³. Lượng kim loại dùng tỉ lệ với tổng diện tích bề mặt. Tìm diện tích bề mặt nhỏ nhất có thể A.

Một mảnh đất hình chữ nhật diện tích 200 m² được rào cả bốn phía. Cạnh dọc theo mặt đường, dài x, tốn €40 mỗi mét; ba cạnh còn lại tốn €8 mỗi mét. Tìm tổng chi phí nhỏ nhất C.

Một nhà hát bán 1500 vé mỗi suất diễn với giá €15 mỗi vé. Nghiên cứu thị trường cho thấy cứ tăng giá vé €1 thì bán được ít hơn 50 vé (và cứ giảm €1 thì bán thêm 50 vé). Tìm giá vé p để doanh thu lớn nhất.

Một công ty bán q sản phẩm mỗi tuần. Giá có thể bán là p = 140 − 0,2q euro mỗi sản phẩm, và chi phí là C(q) = 500 + 110q euro. Tìm sản lượng hằng tuần q để lợi nhuận lớn nhất.