AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−x² − 3x + 1)/(x² + x + 1)。

f(x) = (−x² − 3x + 1)/(x² + x + 1)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (3x + 3)³。求 f′(0)。

f(x) = (3x + 3)³x = 0

f′(0) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6

x =

5.最优化中等

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。求用料最少时的半径 r。

V = 400 cm³

r = cm

6.最优化困难

一家小企业以固定的市场价格每件 €75 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 1500 + 14q + 0.25q² 欧元。求使利润最大的产量 q。

p = €75C = 1500 + 14q + 0.25q²

q = 件

7.积分中等

计算 I = ∫₀¹ e^0.5x dx。

f(x) = e^0.5x[0, 1]

I =

8.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = 3x

A =

9.微分方程中等

一个 320 °C 的钢锻件放在 27 °C 的车间里冷却。 23 min 后其温度为 212 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 320 °CT_a = 27 °CT(23) = 212 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 6.25y = 62.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 3y′ + 6.25y = 62.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 2/(k(k + 4))。

a_k = 2/(k(k + 4))

S =

12.数列与级数困难

识别该级数并求它的和：S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0.25ᵏ/k。

a_k = (−1)^k+1·0.25ᵏ/k

S =

3溶液

1.极限

答案: L = −1

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−1 + (−3)/x + 1/x²)/(1 + 1/x + 1/x²)

令 x → ∞

L = −1/1 = −1

答案

L = −1

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

2·sin 2x/(2x) → 0/0

第二次应用

4·cos 2x/2

代入 x = 0

L = 4/2 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(0) = 81

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 3·(3x + 3)²·3

代入

f′(0) = 3·3²·3 = 81

答案

f′(0) = 81

4.导数

答案: x = 2

导数

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

解 f′(x) = 0

x = 2 或 x = 4

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 2

答案

x = 2

5.最优化

答案: r = 3.993 cm

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

高度和面积

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm

A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

答案

r = 3.993 cm

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

6.最优化

答案: q = 122 件

利润函数

P(q) = 75q − (1500 + 14q + 0.25q²) = −0.25q² + 61q − 1500

令导数为零

P″(q) = −0.5 < 0，所以这是最大值。

61 − 0.5q = 0 → q = 122

最大利润

P = 61·122 − 0.25·122² − 1500 = €2221

答案

q = 122

7.积分

答案: I = 1.297

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^0.5x/0.5

代入上下限

I = (e^0.5 − 1)/0.5 = (1.649 − 1)/0.5 = 1.297

答案

I = 1.297

8.积分

答案: A = 1.125

交点

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

答案

A = 1.125

9.微分方程

答案: k = 0.01999 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−23k = 185/293

解出 k

k = ln(293/185)/23 = 0.01999 min⁻¹

答案

k = 0.01999 min⁻¹

10.微分方程

答案: y_max = 10.95

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 10, r = −1.5 ± 2j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1.5A + 2B = 0 → B = −7.5

峰值

t = π/2 = 1.571

y_max = 10·(1 + e^−1.5·π/2) = 10.95

答案

y_max = 10.95

11.数列与级数

答案: S = 1.042

部分分式

2/(k(k + 4)) = (2/4)·(1/k − 1/(k + 4))

取消

S = (2/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1.042

答案

S = 1.042

12.数列与级数

答案: S = 0.2231

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

标准级数

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

代入

x = 0.25

S = ln 1.25 = 0.2231

答案

S = 0.2231

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