AP Calculus 练习题：练习题和考试题

练习 AP 微积分 AB 和 BC 的内容：极限、导数及其应用、最优化、积分、微分方程，以及 BC 的级数内容和泰勒多项式。

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本课程的主题

AP Calculus 练习题考试技巧

求极限时先尝试直接代入。
最优化问题中，除临界点外还要检查端点。
对微分方程积分之前，先分离变量。

例题详解

极限简单

求极限 L = lim_x→1 (x⁴ − 1)/(x − 1)。

f(x) = (x⁴ − 1)/(x − 1)x → 1

求： L

显示提示

代入得到 0/0。对分子因式分解。
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
x⁴ − 1 = (x − 1)(x³ + x² + x + 1).

显示答案和分步解答

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

尝试直接代入

分子 → 0 且分母 → 0，所以是 0/0 型。

因式分解并约去

(x⁴ − 1)/(x − 1) = x³ + x² + x + 1

代入

L = 1·1³ + 1·1² + 1·1 + 1·1 = 4

答案

L = 4

这就是 xⁿ 在 x = a 处的导数：n·aⁿ⁻¹。

导数中等

设 f(x) = x³·e^−x。求 f′(1)。

f(x) = x³·e^−xx = 1

求： f′(1)

显示提示

用乘积法则，u = x³，v = e^−x。
u′ = 3x², v′ = −1·e^−x.
f′(x) = e^−x·(3x² + (−1)·x³).

显示答案和分步解答

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

代入

f′(1) = 0.3679·(3 + (−1)) = 0.7358

答案

f′(1) = 0.7358

练习方式

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本课程的计算器

半衰期与指数衰减计算器带步骤的导数计算器积分计算器（定积分与不定积分）