积分：练习题及分步解答

免费的积分练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：多项式, 指数、对数与换元, 曲线间的面积。

免费练习题简单
xy−2−1

计算 I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx。

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
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练习内容

  1. 简单多项式
  2. 中等指数、对数与换元
  3. 困难曲线间的面积

如何求解积分问题

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

常见错误

  • 忘记除以新的幂次。
  • 换元后没有改变积分限。
  • 不定积分中忘记加 + C。

关键公式

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

从零开始学习积分

学习本课之前： 导数

1什么是积分

积分把一个变化的量加起来。最清晰的图像是图像下方的面积。

一辆汽车以 20 m/s 行驶 5 s。它走过 20 · 5 = 100 m。在速度–时间图上，这就是直线下方矩形的面积。

xy520100

当速度变化时，图像下方的形状是弯曲的，但思路相同：面积就是距离。

我们把 f 在 x = a 与 x = b 之间图像下方的面积写成：

∫ab f(x) dx

数 a 和 b 是积分的上下限。dx 告诉你 x 是变量。

自测 一名骑车人以恒定的 10 m/s 骑行 4 s。速度–时间图下方的面积是多少？
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2.5 m
  4. 40 m

答案: 40 m. 面积是一个矩形：高 10 m/s 乘以宽 4 s 得 40 m。10 除以 4 得 2.5，它不是面积。

2原函数和幂函数法则

积分是反过来的微分。f 的原函数 F 是导数为 f 的函数。

因为 (x³)′ = 3x²，所以 3x² 的一个原函数是 x³。可以加上任何常数，所以我们写 ∫3x² dx = x³ + C。

积分的幂函数法则：把指数加一，然后除以新的指数。

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • 常数因子保留在前面：∫5x² dx = 5x³/3 + C。
  • 单独一个常数：∫4 dx = 4x + C。
  • 对于和，分别对每一项积分。

也要记住这些：∫eˣ dx = eˣ，∫ekx dx = ekx/k，∫1/x dx = ln|x|，∫cos x dx = sin x，∫sin x dx = −cos x。

原函数总是可以检验：对它求导，必须得回原来的函数。

自测 ∫6x² dx 是什么？
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

答案: 2x³ + C. 把指数提高到 3，再除以 3：6x³/3 = 2x³。12x 是导数，不是积分，6x³ 忘了除以新的指数。

3定积分和面积

定积分有上下限，给出一个数。求一个原函数 F，然后把它在两个端点处的值相减。

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

常数 C 在相减时抵消，所以这里可以省略。

例：∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3.296，因为 ln 1 = 0。

当一个函数套在另一个函数里面时，换元法会有帮助。对于 e0.5x，令 u = 0.5x。结果就是上面的法则：除以 0.5。

∫03 e0.5x dx = 2e0.5x |03 = 2(e1.5 − 1) ≈ 6.963

两条曲线之间的面积是上方曲线减去下方曲线的积分，积分区间是它们相交的点之间。

对于 y = 2x 和 y = x²，两条曲线在 x = 0 和 x = 2 处相交。在该区间上 2x 在上方。

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
自测 曲线 y = x 和 y = x² 在 x = 0 和 x = 1 处相交。在它们之间，y = x 在上方。所围成的面积是多少？
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

答案: 1/6. ∫(x − x²) dx 从 0 到 1 是 1/2 − 1/3 = 1/6。用下减上得到 −1/6，把两个积分相加得到 5/6。

4分步方法

  1. 把函数改写成简单项之和。把根式和分式写成幂：√x = x1/2。
  2. 用幂函数法则或标准积分求出每一项的原函数。
  3. 在脑子里求一下导数快速检验。
  4. 对定积分，分别算出 F(b) 和 F(a)。
  5. 相减：F(b) − F(a)。当 a 为负时要注意负号。

对于两条曲线之间的面积，先解 f(x) = g(x) 求出积分限，再对上减下积分。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

计算 I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx。

1

逐项积分

3x² 给出 3x³/3 = x³。2x 给出 2x²/2 = x²。常数 1 给出 x。

F(x) = x³ + x² + x
2

用求导检验

F′(x) = 3x² + 2x + 1

这就是原来的函数，所以 F 是正确的。

3

上限处的值

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

下限处的值

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

相减

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

积分就是曲线下方、x = 0 与 x = 2 之间的阴影面积。

答案

I = 14

6常见错误

  • 忘记除以新的幂次。
  • 求导而不是积分：降低指数而不是提高指数。
  • 把 ∫1/x dx 写成 x⁰/0。幂函数法则对 n = −1 不适用；要用 ln|x|。
  • 当 a 为负时，忘了 F(a) 中的负号，例如 (−1)³ = −1。
  • 在不定积分中忘了 + C，或者换元之后没有改变积分限。
自测 ∫02 x³ dx 是多少？
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

答案: 4. F(x) = x⁴/4，所以 F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4。忘了除以新的指数 4 会得到 16。

7考试题是什么样的

  • 简单：多项式的定积分，有时积分限为负。用幂函数法则和 F(b) − F(a)。
  • 中等：指数函数、对数函数和换元，例如两个积分限之间的 ∫e0.5x dx 或 ∫3/x dx。
  • 困难：两条曲线所围成的面积，例如 y = x² 和 y = 4x。先求它们相交的位置，再对上减下积分。

快速检查：两条曲线围成的面积总是正的。如果你得到负数，说明相减的顺序错了。

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例题详解

例题 1简单
xy3y = 0.5x

将 y = 0.5x 之下、从 x = 0 到 x = 3 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

求： V

显示提示
  1. 在 x 处的薄片是半径 y = 0.5x 的圆盘。
  2. V = π∫₀3 (0.5x)² dx.
  3. = π·0.25·x³/3.
显示答案和分步解答

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

圆盘法

V = π∫₀3 0.25x² dx

积分

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

答案

V = 7.069

检验：半径 1.5、高 3 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 7.069。

例题 2中等
xy2y = x·cos x

计算 I = ∫₀2 x·cos x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀2 x·cos x dx

求： I

显示提示
  1. 取 u = x，dv = cos x dx。
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
显示答案和分步解答

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原函数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

极限

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

答案

I = 0.4024
例题 3困难
xyy = 2x2​y = x

求由 y = 2x2 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 2x2y = x

求： A

显示提示
  1. 先求两曲线的交点：令二者相等。
  2. 它们交于 x = 0 和 x = 0.5。在两点之间，直线位于抛物线上方。
  3. A = ∫00.5 (x − 2x2) dx.
显示答案和分步解答

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

2x2 = x → x = 0, x = 0.5

对上减下积分

A = [0.5x2 − 0.6667x3]00.5 = 0.04167

答案

A = 0.04167

问与答

什么是积分？

积分把一个变化的量加起来。最清晰的图像是图像下方的面积。

一辆汽车以 20 m/s 行驶 5 s。它走过 20 · 5 = 100 m。在速度–时间图上，这就是直线下方矩形的面积。

积分题目如何一步步求解？
  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
积分有哪些常见错误？
  • 忘记除以新的幂次。
  • 换元后没有改变积分限。
  • 不定积分中忘记加 + C。
积分练习包括哪些内容？
  • 简单: 多项式
  • 中等: 指数、对数与换元
  • 困难: 曲线间的面积

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
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本主题的前后主题

先学习

导数

接下来学习

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计算器

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