多元微积分：练习题及分步解答

免费的多元微积分练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：偏导数与二重积分, 梯度、切平面与链式法则, 临界点与区域上的积分。

免费练习题简单
xy3−3P

对于 f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy，求在点 (3, −3) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
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练习内容

  1. 简单偏导数与二重积分
  2. 中等梯度、切平面与链式法则
  3. 困难临界点与区域上的积分

如何求解多元微积分问题

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

常见错误

  • 对本应保持不变的变量求了导。
  • 忘记把方向向量单位化。
  • 把 D 写成 fxx·fyy + fxy²，或把 D < 0 的点称为极值点。
  • 对由曲线围成的区域使用常数作内层积分限。
  • 在 dA = r dr dθ 中漏掉因子 r。

关键公式

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

从零开始学习多元微积分

学习本课之前： 导数, 积分

1偏导数

二元函数 z = f(x, y) 是 xy 平面上方的一个曲面。在地图上用等高线表示，即 f 取相同值的线。

偏导数衡量一个方向上的斜率。求 ∂f/∂x（也写作 fx）时，保持 y 为常数，按普通法则对 x 求导。

例：f(x, y) = x²y + 3y²。求 fx 时把 y 当作数，求 fy 时把 x 当作数：

fx = 2xy fy = x² + 6y

在 (1, 2) 处，fx = 4，fy = 1 + 12 = 13。

再求一次导得到二阶偏导数 fxx、fyy 和 fxy。混合偏导数与求导顺序无关：fxy = fyx。这里 fxy = 2x。

自测 对于 f(x, y) = x³y²，∂f/∂y 是什么？
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

答案: 2x³y. 保持 x 为常数：x³ 是常数因子，y² 给出 2y，所以 fy = 2x³y。3x²y² 是 ∂f/∂x。

2梯度与方向导数

梯度把两个偏导数集合在一起：∇f = (fx, fy)。它指向 f 上升最快的方向，与等高线垂直。

xy∇fP

最陡的斜率本身是长度 |∇f| = √(fx² + fy²)。

其他任何方向 v 上的斜率就是方向导数。先把 v 化为单位向量 u = v/|v|，再取点积：

Duf = ∇f·u

对于 f = x²y + 3y² 在 (1, 2) 处：∇f = (4, 13)。沿方向 v = (3, 4)，u = (0.6, 0.8)，所以 Duf = 4·0.6 + 13·0.8 = 12.8。

自测 在某点 ∇f = (3, 4)。f 在该点的最大增长率是多少？
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

答案: 5. 它是 |∇f| = √(3² + 4²) = 5。把分量相加得 7，忘记开平方得 25。

3切平面与链式法则

在点 (a, b) 附近，曲面几乎是平的。切平面为

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

它给出线性近似 f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy。

例：f = x²y + 3y² 有 f(1, 2) = 14，所以在 (1, 2) 附近：f(1.1, 1.9) ≈ 14 + 4·0.1 + 13·(−0.1) = 13.1。精确值为 13.129。

当 x 和 y 都依赖于 t 时，链式法则把两条路径相加：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

4临界点

在极大值、极小值或鞍点处，曲面是平的：fx = 0 且 fy = 0。这样的点是临界点。

二阶导数检验在该点使用 D = fxxfyy − fxy²：

  • D > 0 且 fxx > 0：局部极小值。
  • D > 0 且 fxx < 0：局部极大值。
  • D < 0：鞍点，在一个方向上升，在另一个方向下降。
  • D = 0：检验无法判断。
例题讲解

求 f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y 的临界点并对它们分类。

1

令两个偏导数为零

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

临界点为 (1, 2) 和 (−1, 2)。

2

二阶导数

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

检验 (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 且 fxx = 6 > 0：局部极小值，f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6。

4

检验 (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0：鞍点。

答案

(1, 2) 处为局部极小值，f = −6；(−1, 2) 处为鞍点。

5二重积分

二重积分 ∬R f dA 把 f 在区域 R 上累加起来；当 f = 1 时它就是 R 的面积。把它化为两个单重积分来计算，先算内层。

在矩形上，积分限是数：∫02∫01 (x + 2y) dy dx。内层积分得 x + 1，而 ∫02 (x + 1) dx = 4。

在一般区域上，内层积分限是围成该区域的曲线。对于 y = x² 与 y = 2x 之间的区域，y 从 x² 到 2x，x 从 0 到 2。

xyy = 2xy = x²2
面积 = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

对于圆盘和扇形，使用极坐标：x² + y² = r²，dA = r dr dθ。在圆盘 r ≤ 2 上：∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π。

自测 在极坐标中，dA 变成什么？
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

答案: r dr dθ. 一个小的极坐标面元宽 Δr、长 r·Δθ，所以 dA = r dr dθ。忘记因子 r 是最常见的错误。

6常见错误与考试题型

  • 求偏导数时把“常数”变量也一起求导了。
  • 在方向导数中使用 v 而不是单位向量 u。
  • 把 D 写成 fxxfyy + fxy²，或者把 D < 0 的点当作极值点。
  • 区域由曲线围成时，内层积分限却用了数。
  • 在极坐标中忘记因子 r。

简单：某点的偏导数和矩形上的积分。中等：梯度、方向导数、切平面和链式法则。困难：对临界点分类，以及曲边区域上的积分，用极坐标或交换积分顺序。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
xy−1−3P

对于 f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy，求在点 (−1, −3) 处的偏导数 ∂f/∂x。

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

求： fx(−1, −3)

显示提示
  1. 把 y 当作常数，对 x 求导。
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. 代入 x = −1 和 y = −3。
显示答案和分步解答

偏导数：∂f/∂x 是把 y 视为常数时对 x 的普通导数（把 y 当作一个数），∂f/∂y 则反过来。求导法则（幂法则、乘积法则、链式法则）与一元函数相同。混合二阶偏导数与求导顺序无关：fxy = fyx。矩形区域上的二重积分化为两个单重积分来计算，先算内层：∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx。

求导

y 保持不变。

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

代入

fx(−1, −3) = −4

答案

fx(−1, −3) = −4
例题 2中等

z = 2x²e3y，其中 x = −t − 2，y = t² + 2。用链式法则求 t = 0 时的 dz/dt。

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

求： dz/dt

显示提示
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。
  2. 在 t = 0 时：x = −2，y = 2，dx/dt = −1，dy/dt = 0。
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
显示答案和分步解答

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

点与变化率

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

偏导数

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

链式法则

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

答案

dz/dt = 3227
例题 3困难
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy 在 (1, 1) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

求： D

显示提示
  1. 求出三个二阶导数 fxx、fyy 和 fxy。
  2. 在该点：fxx = 6，fyy = 6，fxy = −3。
  3. D = fxxfyy − fxy²。
显示答案和分步解答

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

二阶导数

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

判别式

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ 局部极小值

答案

D = 27

问与答

什么是多元微积分？

二元函数 z = f(x, y) 是 xy 平面上方的一个曲面。在地图上用等高线表示，即 f 取相同值的线。

例：f(x, y) = x²y + 3y²。求 fx 时把 y 当作数，求 fy 时把 x 当作数：

多元微积分题目如何一步步求解？
  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。
多元微积分有哪些常见错误？
  • 对本应保持不变的变量求了导。
  • 忘记把方向向量单位化。
  • 把 D 写成 fxx·fyy + fxy²，或把 D < 0 的点称为极值点。
  • 对由曲线围成的区域使用常数作内层积分限。
  • 在 dA = r dr dθ 中漏掉因子 r。
多元微积分练习包括哪些内容？
  • 简单: 偏导数与二重积分
  • 中等: 梯度、切平面与链式法则
  • 困难: 临界点与区域上的积分

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

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