复数：练习题及分步解答

免费的复数练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：直角坐标形式的运算, 极坐标形式与指数形式, 棣莫弗定理、方根与方程。

免费练习题简单
ReIm22−2−244−4−466−6−6z₁z₂

对于 z₁ = 1 + j4 和 z₂ = 5 + j6，求 w = 2z₁ + 5z̄₂ 的虚部。

z₁ = 1 + j4z₂ = 5 + j6
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练习内容

  1. 简单直角坐标形式的运算
  2. 中等极坐标形式与指数形式
  3. 困难棣莫弗定理、方根与方程

如何求解复数问题

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

常见错误

  • 展开相乘时把 j² 当作 +1。
  • 把实部和虚部分别相除。
  • 对左半平面的点把 atan(b/a) 当作辐角。
  • 混用角度和弧度，尤其是在 ejθ 中。
  • 只给出 zⁿ = w 的一个根，或者忘记对模取 n 次方根。

关键公式

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

从零开始学习复数

1复数是什么

方程 x² = −1 没有实数解。工程师引入一个新的数 j，满足 j² = −1。数学家写作 i；工程中使用 j，因为 i 已经表示电流。

复数的形式为 z = a + jb。数 a 是实部，b 是虚部：Re(z) = a，Im(z) = b。

你可以把 z 画成阿尔冈图中的点 (a, b)：实部沿水平轴，虚部沿竖直轴。

ReImθz = 3 + j2|z|z̄ = 3 − j232

到原点的距离是模 |z| = √(a² + b²)。与正实轴的夹角是辐角 θ。关于实轴的镜像 z̄ = a − jb 是共轭。

自测 z = 3 − j4 的模是多少？
  1. 25
  2. 5
  3. 7
  4. −1

答案: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5。把 3 和 4 相加得 7，忘记开平方得 25。

2加、乘、除

加减法按部分分别进行：(2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j。

乘法：展开括号并把 j² 换成 −1：

(2 + j3)(1 − j4) = 2 − j8 + j3 − j²12 = 2 + 12 − j5 = 14 − j5

一个数乘以它的共轭总是实数：(a + jb)(a − jb) = a² + b²。

除法：把分子和分母同乘以分母的共轭。这样分母就变成实数：

(4 + j2)/(1 + j) = (4 + j2)(1 − j)/((1 + j)(1 − j)) = (6 − j2)/2 = 3 − j
自测 (1 + j)(1 − j) 等于多少？
  1. 0
  2. 1 − j
  3. 2
  4. 2j

答案: 2. 它是一个数乘以它的共轭：1² + 1² = 2。把 1 − j² 写成 1 − 1 = 0 是忘了 j² = −1，所以 −j² = +1。

3极坐标形式与指数形式

一个点也可以用它的距离和角度给出：z = r∠θ，其中 r = |z|，θ = arg z。用 a = r cos θ 和 b = r sin θ 换回直角坐标形式。

z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ

最后一种形式使用欧拉公式 ejθ = cos θ + j sin θ。在指数形式中 θ 必须以弧度为单位。

注意象限。计算器给出的 atan(b/a) 在 −90° 与 90° 之间。如果 a < 0，点在左侧，所以要加上或减去 180°。

例：z = −2 + j2。则 r = √8 = 2.828。参考角为 atan(2/2) = 45°，点在第二象限，所以 θ = 180° − 45° = 135°。

自测 z = −1 − j 的辐角是多少（取 −180° 到 180° 之间）？
  1. 135°
  2. 45°
  3. −135°
  4. −45°

答案: −135°. 该点位于第三象限。参考角为 45°，所以 θ = −(180° − 45°) = −135°。atan(−1/−1) = 45° 指向的是相反的象限。

4极坐标形式的乘法、幂与方根

在极坐标形式中，乘法很简单：模相乘，辐角相加。除法则是模相除，辐角相减。

(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)

重复这一过程就得到棣莫弗定理：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。

方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根。它们的模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1。

ReIm2−1 + j1.732−1 − j1.732120°

对于 z³ = 8 = 8∠0°：模为 2，辐角为 0°、120° 和 240°（即 −120°）。这些根在圆上构成一个正三角形。

当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 −p/2 ± j√(q − p²/4)。实系数多项式的复根总是成共轭对出现。

5例题讲解

像 1 + j 这样的数的幂，用极坐标形式比展开相乘快得多。

例题讲解

用棣莫弗定理计算 (1 + j)6。

1

把 1 + j 写成极坐标形式

r = √(1² + 1²) = √2。该点在第一象限，所以 θ = atan(1/1) = 45°。

1 + j = √2∠45°
2

应用棣莫弗定理

把模取 6 次幂，并把角乘以 6。

(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3

把角调整到范围内

270° 与 −90° 是同一个方向。

(1 + j)6 = 8∠−90°
4

换回直角坐标形式

8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
答案

(1 + j)6 = −j8：实部为 0，虚部为 −8。

6常见错误与考试题型

  • 展开相乘时忘记 j² = −1，使某一项的符号出错。
  • 按部分分别相除：(a + jb)/(c + jd) 不等于 a/c + jb/d。要使用共轭。
  • 当 a < 0 时把 atan(b/a) 当作辐角。先画出这个点。
  • 在 ejθ 中使用角度，或者在 r∠θ 以度给出时让计算器停留在弧度模式。
  • 在棣莫弗定理中：忘记对模取幂，或者只给出 zⁿ = w 的一个根。

简单题要求求乘积、商或和的某一部分。中等题在直角坐标形式、极坐标形式和指数形式之间转换。困难题使用棣莫弗定理、n 次方根和多项式方程。

自测 z₁ = 2∠30°，z₂ = 4∠50°。z₁·z₂ 是多少？
  1. 6∠80°
  2. 8∠1500°
  3. 8∠20°
  4. 8∠80°

答案: 8∠80°. 模相乘 (2·4 = 8)，辐角相加 (30° + 50° = 80°)。把模相加得 6，而把角相乘没有意义。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
ReIm55−5−5z₁z₂

对于 z₁ = −7 + j 和 z₂ = 4 + j2，求乘积 z₁·z₂ 的实部。

z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2

求： Re(z₁z₂)

显示提示
  1. 像 (a + b)(c + d) 那样展开括号，得到四项。
  2. 把 j² 换成 −1，使四项中的一项变成实数。
  3. (−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
显示答案和分步解答

复数：z = a + jb 的实部为 a，虚部为 b，j² = −1（数学家写作 i）。加减法按部分分别进行；乘法把括号展开并把 j² 换成 −1；除法则把分子和分母同乘以分母的共轭 z̄ = a − jb，因为 z·z̄ = a² + b² 是实数。在阿尔冈图上，z 是点 (a, b)：它到原点的距离是模 |z| = √(a² + b²)，与正实轴的夹角是辐角 θ。

展开

(−7 + j)(4 + j2) = (−7)·4 + j·(−7)·2 + j·1·4 + j²·1·2

使用 j² = −1

Re = (−28) − 2 = −30
Im = (−14) + 4 = −10
z₁z₂ = −30 − j10
Re(z₁z₂) = −30

答案

Re(z₁z₂) = −30
例题 2中等
ReIm22−2−244−4−4θz

把 z = 4∠160° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 4θ = 160°

求： b

显示提示
  1. a = r·cos θ，b = r·sin θ。
  2. sin(160°) = 0.342
  3. 乘以 r = 4。
显示答案和分步解答

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 4·cos(160°) = −3.759
b = 4·sin(160°) = 1.368

直角坐标形式

z = −3.759 + j1.368
b = 1.368

答案

b = 1.368
例题 3困难
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂z₃

n = 4、w = 16∠−60° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2, 3。求 z₂ 的实部。

w = 16∠−60°n = 4k = 2

求： Re(z₂)

显示提示
  1. 每个根的模都是 R1/n = 161/4 = 2。
  2. z₂ 的辐角为 (φ + 360°·k)/n，其中 φ = −60°，k = 2，n = 4。
  3. a = R1/n·cos(165°)。
显示答案和分步解答

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

161/4 = 2

根的辐角

θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°

直角坐标形式

z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1.932 + j0.5176
Re(z₂) = −1.932

答案

Re(z₂) = −1.932

4 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 90°。

问与答

什么是复数？

方程 x² = −1 没有实数解。工程师引入一个新的数 j，满足 j² = −1。数学家写作 i；工程中使用 j，因为 i 已经表示电流。

你可以把 z 画成阿尔冈图中的点 (a, b)：实部沿水平轴，虚部沿竖直轴。

复数题目如何一步步求解？
  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。
复数有哪些常见错误？
  • 展开相乘时把 j² 当作 +1。
  • 把实部和虚部分别相除。
  • 对左半平面的点把 atan(b/a) 当作辐角。
  • 混用角度和弧度，尤其是在 ejθ 中。
  • 只给出 zⁿ = w 的一个根，或者忘记对模取 n 次方根。
复数练习包括哪些内容？
  • 简单: 直角坐标形式的运算
  • 中等: 极坐标形式与指数形式
  • 困难: 棣莫弗定理、方根与方程

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

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