免费的正态分布练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：单侧尾部面积, 两个值之间的面积, 百分位数。
做得好。想再做下一题吗？准备好做下一题了吗？ 每个主题每天都有 5 道新题。
学习本课之前： 描述统计
许多量，如身高、智商分数或机器生产的包装的重量，服从正态分布。大多数值靠近中间，远离中间的值很少见。
图形是一条对称的钟形曲线。它有两个数：均值 μ，即峰顶所在位置；标准差 σ，决定宽度。
关键思想：概率就是曲线下的面积。总面积为 1。阴影的左半边面积为 0.5，所以一半的值低于均值。
约 68% 的值落在均值一个 σ 的范围内，约 95% 落在两个 σ 的范围内。
答案: 0.5. 曲线关于均值对称，所以无论 σ 是多少，恰好有一半的面积在 μ 以下。0.68 是两侧各一个 σ 以内的面积。
把数值 x 换算成 z 分数后，每个正态分布都变成同一条标准正态曲线（均值 0，σ = 1）：
表给出 Φ(z)：z 左边的面积。例如 Φ(1.2) = 0.8849，所以 88.49% 的值低于 z = 1.2。
你会经常遇到的值：Φ(1) = 0.8413，Φ(1.5) = 0.9332，Φ(2) = 0.9772。
答案: 0.1151. 表给出的是左边的面积。右边的面积是 1 − 0.8849 = 0.1151。直接用 0.8849 是读错了尾部。
求两个值之间的面积，把两个左边的面积相减：上限以下的全部，减去下限以下的全部。
百分位数是反过来求。第 90 百分位数是其左边有 90% 面积的那个值。
对于低于 50% 的百分位数，z 为负。第 10 百分位数的 z = −1.2816。
答案: 112.6. x = 100 + 0.8416 · 15 = 112.6。用减号会得到 87.4，那是第 20 百分位数；100.8 是忘了乘以 σ。
跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。
智商分数服从均值 100、标准差 15 的正态分布。介于 91 和 121 之间的比例 P 是多少？
阴影面积覆盖中间部分以及右侧更多的部分。预期结果略高于 0.5。
这略高于 0.5，与草图的预测一致。
P ≈ 0.645：约 64.5% 的分数介于 91 和 121 之间。
答案: 0.9332. z = (50 − 65)/10 = −1.5，P(X > 50) = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332。0.0668 是 50 以下的面积：尾部错了。大多数学生的成绩高于 50，所以答案必须很大。
一定要先画草图。十秒钟的草图能避免大多数尾部的错误。
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。 高于 36.8 min 的比例是多少？求 P(X > x)，以小数表示。
求： P(X > x)
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
即 21.19%。
X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 769.7 g 的概率 P。z 取两位小数。
求： P
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
求： x (cm)
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
许多量，如身高、智商分数或机器生产的包装的重量，服从正态分布。大多数值靠近中间，远离中间的值很少见。
图形是一条对称的钟形曲线。它有两个数：均值 μ，即峰顶所在位置；标准差 σ，决定宽度。
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