命题逻辑与证明：练习题及分步解答

免费的命题逻辑与证明练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：真值表, 等价式与证明方法, 量词与论证。

免费练习题简单
pqr(p → r) ↔ (r ∨ q)111?110?101?100?011?010?001?000?

补全真值表（1 = 真，0 = 假）。在多少行 N 中 (p → r) ↔ (r ∨ q) 为真？

(p → r) ↔ (r ∨ q)

精确答案：整数，不要四舍五入。

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练习内容

  1. 简单真值表
  2. 中等等价式与证明方法
  3. 困难量词与论证

如何求解命题逻辑与证明问题

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

常见错误

  • 把 p 为假时的 p → q 当成假。
  • 求行数时把重复出现的变量算了两次。
  • 把逆否命题 ¬q → ¬p 与逆命题 q → p 混淆。
  • 把 ∀x P(x) 的否定写成 ∀x ¬P(x)，而不是 ∃x ¬P(x)。
  • 使用德摩根律时没有交换 ∧ 和 ∨。

关键公式

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

从零开始学习命题逻辑与证明

1命题与联结词

命题是非真即假的陈述，例如“7 是素数”。我们用字母 p 或 q 表示它，其真值写作 1（真）或 0（假）。

联结词把较小的公式构造成较大的公式：

  • ¬p（非 p）把值取反。
  • p ∧ q（且）只有在两者都为 1 时才为 1。
  • p ∨ q（或）只有在两者都为 0 时才为 0。这是相容的“或”：两者可以同时为真。
  • p → q（若 p 则 q）只有在 p = 1 且 q = 0 时才为 0。
  • p ↔ q（当且仅当）在 p 和 q 取值相同时为 1。
pqp → q111100011001

蕴涵让许多学生感到意外：当 p 为假时，无论 q 是什么，p → q 都为真。“如果下雨，我就带伞”这个承诺，只有在下雨天没带伞时才被违背。

自测 p = 0，q = 1。p → q 的值是多少？
  1. 0
  2. 1
  3. 取决于上下文
  4. 无定义

答案: 1. 蕴涵只有在条件成立而结论不成立（p = 1，q = 0）时才为假。当 p = 0 时它为真，无论 q 是什么。

2真值表

真值表列出各变量真值的所有组合。有 n 个不同的变量时有 2ⁿ 行：两个变量 4 行，三个变量 8 行，四个变量 16 行。出现两次的变量仍只算一次。

由内向外进行。给每个子公式单独一列，这样每个新列只需对已有的列应用一个联结词。

  1. 列出变量并写出全部 2ⁿ 种组合，从全为 1 开始。
  2. 为每个子公式添加一列，最里面的先做。
  3. 按各列主联结词的规则填写每一列。
  4. 从最后一列读出答案：数出 1 的个数，或找出题目所问的那一行。
自测 (p ∧ q) → (r ∨ p) 的真值表有多少行？
  1. 16
  2. 4
  3. 6
  4. 8

答案: 8. 该公式有 p、q、r 三个不同的变量，所以有 2³ = 8 行。p 出现两次，但只是一个变量；16 是四次出现对应的 2⁴。

3例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

在 (p → q) ∧ ¬q 的真值表中，有多少行为真？

1

变量与行

两个变量 p 和 q，所以有 4 行：(1, 1)、(1, 0)、(0, 1)、(0, 0)。

2

p → q 一列

只有在 p = 1、q = 0 这一行它才为 0：

p → q: 1, 0, 1, 1
3

¬q 一列

¬q: 0, 1, 0, 1
4

合取

两列都必须为 1。这只发生在最后一行，即 p = 0 且 q = 0。

(p → q) ∧ ¬q: 0, 0, 0, 1
答案

该公式在 1 行中为真，即 p = 0，q = 0 这一行。这就是为什么 p → q 与 ¬q 合起来可得到 ¬p（否定后件式）。

4等价式与证明方法

当两个公式的真值表列完全相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。

最常用的定律：

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

这些定律是各种证明方法的基础。对 p → q 做逆否证明，是改为证明与之等价的 ¬q → ¬p。反证法假设 p ∧ ¬q（这是蕴涵不成立的唯一情形），并推出不可能的结果。

注意：逆命题 q → p 和否命题 ¬p → ¬q 并不与 p → q 等价。

自测 哪个公式与 ¬(p ∧ q) 等价？
  1. p ∨ q
  2. ¬p ∧ q
  3. ¬p ∧ ¬q
  4. ¬p ∨ ¬q

答案: ¬p ∨ ¬q. 由德摩根律，∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。¬p ∧ ¬q 是 p ∨ q 的否定，是另一个命题：当 p 和 q 恰有一个为真时它为假，而 ¬(p ∧ q) 为真。

5量词与有效论证

变量在某个论域上取值时，∀x P(x) 表示“对每个 x，P 都成立”，∃x P(x) 表示“至少有一个 x 使 P 成立”。否定会交换量词：

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

一步一步地把否定移到内部；在内部使用命题逻辑的定律。例如 ¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))：“并非每个 P 都是 Q”意味着“有些 P 不是 Q”。

当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。经典的有效形式有肯定前件式（p → q，p，所以 q）、否定后件式（p → q，¬q，所以 ¬p）和假言三段论（p → q，q → r，所以 p → r）。

所有前提为 1 而结论为 0 的一行是反例。肯定后件（p → q，q，所以 p）是无效的：p = 0，q = 1 这一行就是反例。

自测 “每个学生都及格了”即 ∀x P(x) 的否定是什么？
  1. ∀x ¬P(x)：没有学生及格
  2. ∃x P(x)：有些学生及格了
  3. ∃x ¬P(x)：有些学生没有及格
  4. 对某个固定学生 x 的 ¬P(x)

答案: ∃x ¬P(x)：有些学生没有及格. 只要有一个学生没通过，就足以使“每个学生都及格了”为假。“没有学生及格”比这个否定强得多。

6常见错误

  • 把 p 为假时的 p → q 当成假。它只有在 p = 1 且 q = 0 时才为假。
  • 求行数时把重复出现的变量算了两次。
  • 把逆否命题 ¬q → ¬p 与逆命题 q → p 或否命题 ¬p → ¬q 混淆。
  • 把 ∀x P(x) 的否定写成 ∀x ¬P(x)：量词必须变成 ∃。
  • 把 ¬(p ∧ q) 写成 ¬p ∧ ¬q：德摩根律还要交换联结词。
自测 哪个命题是“如果 n² 是偶数，那么 n 是偶数”的逆否命题？
  1. n² 是偶数且 n 是奇数
  2. 如果 n 是偶数，那么 n² 是偶数
  3. 如果 n 是奇数，那么 n² 是奇数
  4. 如果 n² 是奇数，那么 n 是奇数

答案: 如果 n 是奇数，那么 n² 是奇数. 交换两个部分并分别取否定：非 (n 为偶数) → 非 (n² 为偶数)。“如果 n 是偶数，那么 n² 是偶数”是逆命题；最后一个选项是反证法所作的假设。

7考试题是什么样的

  • 简单：真值表。你要求出行数，数出公式为真的行数，或点选使公式为真或为假的那一行。
  • 中等：等价式与证明方法。你要判断一个公式是重言式、矛盾式还是偶然式，选出等价的公式，或选出用逆否证明或反证法时需要证明的命题。
  • 困难：量词与论证。你要否定带量词的命题，选出由前提推出的结论，点选无效论证的反例行，或数出四变量表中为真的行数。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
pq¬(p ∨ q) → q11100100

真值表中恰有一行使 ¬(p ∨ q) → q 为假。点选这一行。

¬(p ∨ q) → q
  1. 1p = 1, q = 1
  2. 2p = 1, q = 0
  3. 3p = 0, q = 1
  4. 4p = 0, q = 0
显示提示
  1. a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0。 ¬a 把值取反。 a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0。
  2. 先确定主联结词：要使整个公式为 0，它的两边必须是什么？
  3. 给每个部分单独一列：p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q。
显示答案和解析

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬(p ∨ q) = 1, ¬(p ∨ q) → q = 0

该行

p = 0, q = 0 → ¬(p ∨ q) → q = 0

答案

p = 0, q = 0
例题 2中等
(b → a) ∧ (c → a)b → (c → a)b ∧ (c → a)(b → c) → a

哪个公式与 (b ∧ c) → a 在逻辑上等价？点选它。

(b ∧ c) → a
  1. 1(b → a) ∧ (c → a)
  2. 2b → (c → a)
  3. 3b ∧ (c → a)
  4. 4(b → c) → a
显示提示
  1. 等价的公式在真值表的每一行都一致。只要有一行不同，就可以排除一个选项。
  2. 试一行使 (b ∧ c) → a 为 0 的情形，检查哪些选项在该行也为 0。
  3. 输出律：(a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)。两者都只有在 a = 1、b = 1 且 c = 0 时才为 0。
显示答案和解析

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

输出律：(a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)。两者都只有在 a = 1、b = 1 且 c = 0 时才为 0。
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)

用真值表检验

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0

答案

b → (c → a)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

例题 3困难
pp ∧ ¬r¬pr

已知前提 (q ∧ p) → r; q; ¬r。由它们可以推出哪个结论？点选它。

(q ∧ p) → rq¬r
  1. 1p
  2. 2p ∧ ¬r
  3. 3¬p
  4. 4r
显示提示
  1. 当结论在所有前提都为 1 的每一行中也为 1 时，它就是可以推出的。
  2. 先找出使所有前提为 1 的行，再在这些行中检验每个选项。
  3. 这是一条标准规则：带合取的否定后件式。
显示答案和解析

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, p ∧ ¬r = 0, ¬p = 1, r = 0

结论

¬p (带合取的否定后件式)

答案

¬p

问与答

什么是命题逻辑与证明？

联结词把较小的公式构造成较大的公式：

蕴涵让许多学生感到意外：当 p 为假时，无论 q 是什么，p → q 都为真。“如果下雨，我就带伞”这个承诺，只有在下雨天没带伞时才被违背。

命题逻辑与证明题目如何一步步求解？
  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
命题逻辑与证明有哪些常见错误？
  • 把 p 为假时的 p → q 当成假。
  • 求行数时把重复出现的变量算了两次。
  • 把逆否命题 ¬q → ¬p 与逆命题 q → p 混淆。
  • 把 ∀x P(x) 的否定写成 ∀x ¬P(x)，而不是 ∃x ¬P(x)。
  • 使用德摩根律时没有交换 ∧ 和 ∨。
命题逻辑与证明练习包括哪些内容？
  • 简单: 真值表
  • 中等: 等价式与证明方法
  • 困难: 量词与论证

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