假设检验与置信区间：练习题及分步解答

1检验的思想

一台机器应当平均灌装 500 mL 的瓶子。一个样本瓶子的均值为 496 mL。是机器出了问题，还是仅仅是偶然？

假设检验用数字回答这个问题。你从两个陈述出发：

• 原假设 H₀：没有任何变化。这里 H₀：μ = 500。
• 备择假设 H₁：你怀疑的情况。这里 H₁：μ ≠ 500（双侧），或者如果你只担心灌装不足，则为 μ < 500（单侧）。

你假设 H₀ 为真，然后问：这个样本有多不寻常？如果它非常不寻常，你就拒绝 H₀。

2检验统计量

检验统计量以标准误为单位，衡量样本均值偏离 μ₀（H₀ 中的值）多远。

总体标准差 σ 已知时用 z。只知道样本标准差 s 时用 t：

z 或 t 接近 0，说明样本与 H₀ 一致。很大的正值或负值说明样本远离 μ₀。

3做出判断：临界值与 p 值

在看数据之前，先选定显著性水平 α，通常为 0.05。它是你愿意承担的拒绝真 H₀ 的风险。

对于 α = 0.05 的 z 检验：

• 双侧（H₁：μ ≠ μ₀）：如果 |z| > 1.96，则拒绝 H₀。
• 单侧（H₁：μ > μ₀）：如果 z > 1.645，则拒绝 H₀。对于 μ < μ₀：如果 z < −1.645，则拒绝。

p 值是在 H₀ 为真时，得到至少这样极端的结果的概率。当 p < α 时拒绝 H₀。

不拒绝 H₀ 并不证明它成立。这只意味着数据作为反对它的证据不够强。

检验与置信区间是一致的：当且仅当 μ₀ 落在 95% 区间 x̄ ± 1.96 · σ/√n 之外时，α = 5% 的双侧检验拒绝 H₀。

4分步方法

1. 写出 H₀ 和 H₁，并判断是单侧还是双侧检验。
2. 选择 z（σ 已知）或 t（只知道 s，df = n − 1）。
3. 计算标准误 σ/√n 或 s/√n。
4. 计算检验统计量 (x̄ − μ₀) / 标准误。
5. 与临界值比较，或求出 p 值。
6. 用文字结合题目陈述结论。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 对双侧检验使用单侧临界值（1.645），或者反过来。
• 未拒绝 H₀ 时就说 H₀ 被证明为真。
• 标准误中忘记 √n。
• 把 x̄ − μ₀ 写反了，使 z 的符号颠倒。
• 小样本只知道样本 s 时却用了 z。

7考试题是什么样的

• 简单：z 统计量。σ 已知；计算 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)。
• 中等：t 统计量。只给出样本标准差 s；计算 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。
• 困难：置信区间。求 95% 或 99% 下 x̄ ± z · σ/√n 的下限或上限。

快速检查：如果 x̄ 低于 μ₀，检验统计量必须为负。