t 检验计算器
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结果
t2.608
自由度52.87
p 值0.01183
临界值±2.006
决策拒绝 H₀
标准误1.956
置信区间 (95%)[1.177, 9.023]
由汇总统计量或你的数据进行单样本、双样本或配对 t 检验。计算器给出 t 统计量、自由度（当不假定方差相等时使用 Welch–Satterthwaite 方程）、来自 t 分布的精确 p 值、临界值、置信区间，以及在你所选显著性水平下的结论。每一步都会显示，方便你在考试中跟随方法。
分步解答
假设
H₀: μ₁ − μ₂ = 0, H₁: μ₁ − μ₂ ≠ 0
α = 0.05
标准误
SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) = √(6.4²/25 + 8.1²/30) = √(1.638 + 2.187) = 1.956
检验统计量
t = (x̄₁ − x̄₂)/SE = (78.2 − 73.1)/1.956 = 2.608
自由度
Welch–Satterthwaite 方程：
df = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)²/[(s₁²/n₁)²/(n₁ − 1) + (s₂²/n₂)²/(n₂ − 1)]
df = 3.825²/(1.638²/24 + 2.187²/29) = 52.87
来自 t 分布的 p 值
p = 2·P(T > |t|) = 2·P(T > 2.608) = 0.01183
P(T > t) = ½·Ix(df/2, ½), x = df/(df + t²)
决策
p = 0.01183 ≤ α = 0.05 → 拒绝 H₀
临界值: |t| = 2.608 ≥ 2.006
置信区间
5.1 ± 2.006·1.956 = [1.177, 9.023]
关键公式
- 单样本 t
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Welch t（两样本）
- t = (x̄1 − x̄2)/√(s1²/n1 + s2²/n2)
- Welch 自由度
- df = (s1²/n1 + s2²/n2)² / [(s1²/n1)²/(n1 − 1) + (s2²/n2)²/(n2 − 1)]
- 置信区间
- x̄ ± tcrit(df)·s/√n
- 决策
- 若 |t| > tcrit(df)，拒绝 H₀
如何做 t 检验
- 写出假设。H₀ 表示平均数（或平均数之差）等于某个值；H₁ 表示不同（双尾）、更小（左尾）或更大（右尾）。
- 计算标准误：单样本或配对差值用 s/√n，两个独立样本用 √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)（假定方差相等时用合并形式）。
- 计算 t = (估计值 − 假设值)/标准误。
- 求自由度：单样本或配对为 n − 1，合并检验为 n₁ + n₂ − 2，其他情形用 Welch–Satterthwaite 方程。
- 由 t 分布求 p 值，或将 t 与 t 表中的临界值比较。
- 若 p ≤ α 则拒绝 H₀，这与 t 落在临界值之外是一回事。否则，不拒绝 H₀。
问与答
应该用 Welch t 检验还是合并 t 检验？
Welch 检验不假定方差相等，是更稳妥的默认选择：方差相等时它损失的功效很小，方差不等时依然可靠。当课程或题目要求你假定总体方差相等时，使用合并检验。
什么时候用配对 t 检验？
当一个样本中的每个值都对应另一个样本中的一个值时，例如同一批学生在课程前后的成绩，或同一件物品的两次测量。检验此时使用差值，从而消除了个体之间的差异。
p 值是什么意思？
它是在 H₀ 成立时，出现至少和你的 t 统计量一样极端的值的概率。p 值很小意味着数据很难仅用偶然来解释。它不是 H₀ 为真的概率。
为什么 Welch 自由度不是整数？
Welch–Satterthwaite 方程给出的是自由度的近似值，通常不是整数。计算器使用精确值；用印刷的表时要向下取整，得到的答案略偏保守。
“不拒绝 H₀”等于接受 H₀ 吗？
不等于。它只说明在所选显著性水平下，数据没有提供足够的证据反对 H₀。差异可能是真实的，只是太小，你的样本检测不出来。
t 检验有哪些假定？
观测相互独立，并且每个样本（或差值）来自大致正态的总体。样本较大时（每组约 30 个或更多），由于中心极限定理，该检验对非正态数据相当稳健。
自己练一练
练习假设检验与置信区间
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。