二项分布计算器
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结果
P(X ≤ 4)0.8497
P(X = 4)0.2001
平均数3
标准差1.449
方差2.1
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.02825 | 0.02825 |
| 1 | 0.1211 | 0.1493 |
| 2 | 0.2335 | 0.3828 |
| 3 | 0.2668 | 0.6496 |
| 4 | 0.2001 | 0.8497 |
| 5 | 0.1029 | 0.9527 |
| 6 | 0.03676 | 0.9894 |
| 7 | 0.009002 | 0.9984 |
| 8 | 0.001447 | 0.9999 |
| 9 | 0.0001378 | 1 |
| 10 | 5.905 × 10⁻⁶ | 1 |
计算 n 次独立试验的二项概率，每次试验成功的概率为 p：恰好 x 次成功、至多 x 次、至少 x 次、少于 x 次或多于 x 次。计算器会给出二项公式、所加的每一项（或更短的补事件算法）、平均数 np 和标准差 √(np(1 − p))。当 n 不超过 30 时，还会用表格列出整个分布。
分步解答
二项概率公式
P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n − k
n = 10, p = 0.3, 1 − p = 0.7
把各概率相加
P(X = 0) = C(10, 0)·0.30·0.710 = 0.02825
P(X = 1) = C(10, 1)·0.31·0.79 = 0.1211
P(X = 2) = C(10, 2)·0.32·0.78 = 0.2335
P(X = 3) = C(10, 3)·0.33·0.77 = 0.2668
P(X = 4) = C(10, 4)·0.34·0.76 = 0.2001
P(X ≤ 4) = 0.02825 + 0.1211 + 0.2335 + 0.2668 + 0.2001 = 0.8497
平均数和标准差
μ = np = 10·0.3 = 3
σ² = np(1 − p) = 2.1
σ = √2.1 = 1.449
关键公式
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
如何计算二项概率
- 先确认情形是二项的：试验次数 n 固定，每次试验有两种结果，每次成功的概率 p 相同，且各次试验相互独立。
- 恰好 x 次成功时，用 P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ，其中 C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) 表示 x 次成功可能出现的顺序数。
- “至多 x 次”：把 P(X = 0) 加到 P(X = x)。“至少 x 次”：把 P(X = x) 加到 P(X = n)。
- 如果和式的项数很多，就用补事件：P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)。
- 要仔细转换文字表述：“少于 4 次”是 X ≤ 3，“多于 4 次”是 X ≥ 5。
问与答
二项分布的平均数和标准差是多少？
平均数是 μ = np，方差是 σ² = np(1 − p)，所以标准差是 σ = √(np(1 − p))。当 n = 10、p = 0.3 时，μ = 3，σ = 1.449。
“至少”和“多于”有什么区别？
“至少 3 次”包括 3：P(X ≥ 3)。“多于 3 次”不包括：P(X > 3) = P(X ≥ 4)。对离散分布来说这是两个不同的数，所以要选择与题目文字相符的选项。
为什么计算器有时会使用补事件？
因为所有概率之和为 1，所以 P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)。当补事件的项数更少时，手算更快，步骤中会显示这条途径。结果是相同的。
n 最大可以是多少？
最多 10 000 次试验。各项用对数计算，所以大的阶乘不会溢出，概率也保持准确。
什么时候二项分布不是合适的模型？
当试验不独立或 p 发生变化时，例如从小群体中不放回地抽取：这服从超几何分布。当 n 很大而 p 很小时，λ = np 的泊松分布是很好的近似。
自己练一练
练习概率
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。