泊松分布计算器
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结果
P(X ≥ 6)0.2149
P(X = 6)0.1042
平均数4
方差4
标准差2
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.01832 | 0.01832 |
| 1 | 0.07326 | 0.09158 |
| 2 | 0.1465 | 0.2381 |
| 3 | 0.1954 | 0.4335 |
| 4 | 0.1954 | 0.6288 |
| 5 | 0.1563 | 0.7851 |
| 6 | 0.1042 | 0.8893 |
| 7 | 0.05954 | 0.9489 |
| 8 | 0.02977 | 0.9786 |
| 9 | 0.01323 | 0.9919 |
| 10 | 0.005292 | 0.9972 |
| 11 | 0.001925 | 0.9991 |
| 12 | 0.0006415 | 0.9997 |
求固定区间内事件数的泊松概率，例如每小时的来电数、每米的缺陷数或每分钟的到达数。输入平均速率 λ 和计数 x，即可得到恰好 x 次、至多 x 次、至少 x 次、少于 x 次或多于 x 次事件的概率。步骤中会给出每一项的公式 e^(−λ)·λˣ/x!，并在补事件更短时使用补事件。
分步解答
泊松概率公式
P(X = k) = e−λ·λk/k!
λ = 4
使用补事件（项数更少）
P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5)
P(X = 0) = e−4·40/0! = 0.01832
P(X = 1) = e−4·41/1! = 0.07326
P(X = 2) = e−4·42/2! = 0.1465
P(X = 3) = e−4·43/3! = 0.1954
P(X = 4) = e−4·44/4! = 0.1954
P(X = 5) = e−4·45/5! = 0.1563
P(X ≤ 5) = 0.01832 + 0.07326 + 0.1465 + 0.1954 + 0.1954 + 0.1563 = 0.7851
P(X ≥ 6) = 1 − 0.7851 = 0.2149
平均数和方差
μ = σ² = λ = 4
σ = √λ = 2
关键公式
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
如何计算泊松概率
- 找出 λ，即题目所问区间内事件的平均次数。如果速率是每小时 3 次，而题目问的是 2 小时，则取 λ = 6。
- 恰好 x 次事件时，用 P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!。
- “至多 x 次”：把 0 到 x 的概率相加。
- “至少 x 次”：用补事件 P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)，因为无穷多项的和无法写出。
- 用平均数和方差检验你的答案：两者都等于 λ。
问与答
什么时候适用泊松分布？
当事件逐个发生、相互独立且平均速率恒定，并且你统计的是落在固定时间、长度、面积或体积内的次数时。
泊松分布的平均数和方差是多少？
两者都等于 λ，所以标准差是 √λ。如果数据的方差远大于平均数，事件很可能是成簇出现的，泊松模型拟合得不好。
λ 可以是小数吗？
可以。λ 是平均值，所以每小时 2.5 次这样的值没有问题。事件次数 x 必须是整数。
泊松分布与二项分布有什么关系？
对于试验次数很多、成功概率很小的二项分布，λ = np 的泊松分布给出几乎相同的概率。常用的经验法则是 n ≥ 20 且 p ≤ 0.05。
为什么 P(X ≥ 1) 等于 1 − e^(−λ)？
事件少于一次的唯一情形就是一次也没有，而 P(X = 0) = e^(−λ)。所以 P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ)，当 λ = 2 时为 0.8647。
自己练一练
练习概率
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。