概率：练习题及分步解答

1什么是概率

概率是介于 0 和 1 之间的数，表示某件事有多大可能发生。0 表示永远不会发生，1 表示总是发生。

当所有结果等可能时，数一数：

一个袋子里有 3 个红球、5 个蓝球和 2 个绿球，共 10 个。如果随机抽取一个，P(蓝) = 5/10 = 0.5。

一枚均匀的骰子有 6 个面，所以 P(六) = 1/6 ≈ 0.167，P(偶数) = 3/6 = 0.5。

概率也可以写成百分数：0.5 即 50%。考试答案通常用 0 到 1 之间的小数。

2组合事件的规则

• 补事件：P(非 A) = 1 − P(A)。用于“至少一个”的问题：P(至少一个) = 1 − P(一个也没有)。
• 且，独立事件：相乘。两枚均匀硬币给出 P(两个正面) = 0.5 · 0.5 = 0.25。
• 或：P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B)。减去重叠部分，以免重复计算。

不放回抽取会改变袋子的内容。取出一个红球后，红球少了一个，总数也少了一个。

有 5 个红球和 4 个蓝球时，P(两个红) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278。

要数不考虑顺序的分组，用组合。从 n 个中选取 k 个的方法数为：

这里 n! = n · (n − 1) · … · 1。所以 C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15，即从 6 个人中选出 4 人的委员会有 15 种。

3二项分布

有些题目把同一个试验重复 n 次：检测 5 个元件、猜 8 道题、掷硬币 3 次。每次试验以概率 p 成功，彼此独立。

成功次数 X 此时服从二项分布：

• pᵏ：k 次成功。
• (1 − p)ⁿ⁻ᵏ：n − k 次失败。
• C(n, k)：成功可以出现的不同顺序的个数。

对于“至多一次”，把 P(X = 0) 和 P(X = 1) 相加。对于“至少一次”，用 1 − P(X = 0)。

4分步方法

1. 写下一个结果是什么，以及总共有多少个结果。
2. 翻译文字：“且”表示相乘，“或”表示相加（减去重叠部分），“非”表示 1 − P。
3. 对于“至少一个”，先计算补事件“一个也没有”。
4. 不放回：每次抽取后减少计数。或者用组合来数。
5. 重复的独立试验且 p 固定：用二项公式。
6. 检查答案是否介于 0 和 1 之间。

有几步时，树形图有帮助：沿分支相乘，把你需要的分支相加。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 对于“至少一个”，把概率相加，而不是用 1 − P(一个也没有)。
• 不放回抽取时，忘了减少计数。
• 在二项公式中忘了因子 C(n, k)。
• 除以错误的总数，例如只算其他颜色的球。
• 给出大于 1 或小于 0 的概率。这总是出错的标志。

7考试题是什么样的

• 简单：等可能的结果。从装有彩色球的袋子中抽一次，或掷一次骰子。
• 中等：计数与补事件。用 C(n, k) 求委员会的数目，或不放回的两次抽取。
• 困难：二项分布。恰好 k 次成功，或“至多一次”即 P(X = 0) + P(X = 1)。

以 0 到 1 之间的小数给出答案，四舍五入到三位或四位小数。