矩阵与行列式：练习题及分步解答

1矩阵和 2×2 行列式

矩阵是按行和列排列的数表。有 2 行 3 列的矩阵称为 2×3 矩阵：先行后列。

工程师用矩阵一次写出许多方程。方程组 2x + y = 5 和 x − y = 1 存储为其系数矩阵 [2 1; 1 −1]。

方阵有一个特殊的数，即它的行列式，记作 det A。对于 2×2 矩阵，它是一条对角线的乘积减去另一条对角线的乘积。

对于 [3 1; 2 4]，行列式为 3·4 − 1·2 = 10。

如果 det A = 0，矩阵没有逆矩阵，方程组没有唯一解。

23×3 行列式和乘积

对于 3×3 矩阵，沿第一行展开。每个元素乘以它的余子式：划去该元素所在的行和列后剩下的 2×2 行列式。

沿第一行的符号是 + − +。这个符号模式是最容易忘的部分。

矩阵乘积 AB 由 A 的行和 B 的列构成。第 i 行第 j 列的元素是 A 的第 i 行乘以 B 的第 j 列：对应项相乘再相加。

只有当 A 的列数等于 B 的行数时乘积才存在。一般来说 AB 不等于 BA。

3特征值和方程组

A 的特征值 λ 是这样一个数：对某个向量 v ≠ 0，A·v = λ·v。矩阵只是拉伸该向量，不会转动它。

你可以从特征方程求出特征值。这里 I 是单位矩阵 [1 0; 0 1]。

对于 2×2 矩阵，这变成一个二次方程。它的中间系数是迹 a + d，常数项是 det A：

对于 [4 1; 2 3]：λ² − 7λ + 10 = 0，所以 (λ − 2)(λ − 5) = 0，特征值是 2 和 5。

克莱姆法则用行列式解方程组。把 A 的第 i 列换成右端项，得到 A_i，然后 x_i = det A_i / det A。

对于 2x + y = 5 和 x − y = 1：det A = −3，det A_x = 5·(−1) − 1·1 = −6，所以 x = −6/−3 = 2。

4分步方法

1. 仔细抄写矩阵，包括每个负号。
2. 2×2 行列式：ad − bc。
3. 3×3 行列式：对第一行的每个元素，划去它所在的行和列，求出 2×2 余子式。
4. 用符号 + − + 合并：a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃。
5. 特征值：写出 λ² − (a + d)λ + det A = 0，并解这个二次方程。
6. 检验：有一行全是零，或有两行相等，总是给出 det A = 0。

技巧：沿零很多的行或列展开。每个零元素都为你省去一个余子式。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 在 3×3 展开中忘了中间项的负号。
• 算成 bc − ad 而不是 ad − bc。
• 元素为负数时丢了负号：−2 · −3 是 +6。
• 逐个元素相乘，而不是行乘以列。
• 把迹或某个对角元素当作特征值，而不是解特征方程。

7考试题是什么样的

• 简单：2×2 矩阵的行列式，常带有负的元素。用 ad − bc。
• 中等：3×3 行列式或矩阵乘积。沿第一行用 + − + 展开。
• 困难：2×2 矩阵的特征值，或用克莱姆法则求 2×2 方程组的一个未知数。

特征值的快速检查：它们的和必须等于迹 a + d，积必须等于 det A。