线性方程组求解器（2×2 和 3×3）
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结果
x2
y3
z−1
系数矩阵的秩3
行列式−1
求解由两个或三个线性方程组成的方程组。按平时的写法输入方程，如 2x + y − z = 8，或输入增广矩阵。计算器会显示高斯–若尔当消元的每一步行运算，或克莱姆法则的行列式，使用精确分数计算，并能识别无解或有无穷多解的方程组，后者用参数表示。
分步解答
方程组
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
增广矩阵
[ 2 1 −1 │ 8 ]
[ −3 −1 2 │ −11 ]
[ −2 1 2 │ −3 ]
柱 1 (x): 主元所在行 1
R1 → (1/2)·R1
R2 → R2 + 3·R1
R3 → R3 + 2·R1
[ 1 1/2 −1/2 │ 4 ]
[ 0 1/2 1/2 │ 1 ]
[ 0 2 1 │ 5 ]
柱 2 (y): 主元所在行 2
R2 → 2·R2
R1 → R1 − (1/2)·R2
R3 → R3 − 2·R2
[ 1 0 −1 │ 3 ]
[ 0 1 1 │ 2 ]
[ 0 0 −1 │ 1 ]
柱 3 (z): 主元所在行 3
R3 → (−1)·R3
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − R3
[ 1 0 0 │ 2 ]
[ 0 1 0 │ 3 ]
[ 0 0 1 │ −1 ]
读出解
x = 2
y = 3
z = −1
代回原方程检验
2·2 + 1·3 + (−1)·(−1) = 8 ✓
(−3)·2 + (−1)·3 + 2·(−1) = −11 ✓
(−2)·2 + 1·3 + 2·(−1) = −3 ✓
关键公式
- 2×2 行列式
- det = ad − bc
- 2×2 逆矩阵
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- 克拉默法则
- xi = det(Ai)/det(A)
如何用消元法解线性方程组
- 把方程组写成增广矩阵：每个方程一行，包括 x、y、z 的系数，以及竖线后面的常数项。
- 在第一列选一个主元（非零元素，最好是 1），必要时把它换到第一行。
- 把主元所在行除以主元，然后用它的倍数去减其他行，使该列的其余元素变为零。
- 对下一列和下一行重复这一过程，直到系数部分化为简化行阶梯形。
- 读出解。出现 0 = c（c ≠ 0）的一行表示无解；没有主元的一列表示有自由变量和无穷多解。
- 把解代回原方程检验。
问与答
什么时候该用克莱姆法则？
对于行列式不为零的小型方程组，尤其是 2×2。每个未知数都是两个行列式之比：x = Dx/D。对于较大的方程组，或当 D = 0 时，消元法更快，还能告诉你是无解还是有无穷多解。
怎样知道方程组无解？
当消元得到一行所有系数都是零而右边的常数项不为零时，例如 0 = 3。从几何上看，这些直线或平面没有公共点，例如两条平行线。
无穷多解是什么意思？
有一个方程是其他方程的组合，所以独立方程的个数少于未知数的个数。解构成一条直线或一个平面，用参数 t 表示：例如 x = 2 − t，y = 1 + t，z = t。
如何输入方程？
方程之间用分号分隔，每个变量前写上系数：2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0。允许使用 1/2x 这样的分数和小数，变量可以出现在等号两边。
什么是秩？
消元后主元的个数，也就是独立方程的个数。方阵方程组恰好在秩等于未知数个数时有唯一解，也就是行列式不为零时。
自己练一练
练习矩阵与行列式
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。