正态分布计算器
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结果
P(60 < X < 85)0.7745
百分比77.45 %
za−1
zb1.5
求任意正态分布 N(μ, σ²) 的概率：某个值左侧或右侧的面积、两个值之间的面积，或两个尾部的面积。反求模式从面积反推出值 x，这正是求百分位数和分数线的方法。每个答案都列出所用的 z 分数和 Φ 值，方便你与标准正态分布表核对。
分步解答
标准化
za = (a − μ)/σ = (60 − 70)/10 = −1
zb = (b − μ)/σ = (85 − 70)/10 = 1.5
标准正态曲线下的面积
P(60 < X < 85) = Φ(1.5) − Φ(−1) = 0.9332 − 0.1587 = 0.7745
Φ(z) 是 z 左侧的面积；右侧的面积为 1 − Φ(z) = Φ(−z)。
关键公式
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
如何求正态分布的概率
- 写出平均数 μ 和标准差 σ。如果给出的是方差 σ²，先开平方。
- 用 z = (x − μ)/σ 对每个值标准化。z 分数表示该值高于或低于平均数多少个标准差。
- 在表中或用计算器查出 Φ(z)，即标准正态曲线下 z 左侧的面积。
- 合并各面积：P(X < a) = Φ(z)，P(X > a) = 1 − Φ(z)，P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)。
- 要由面积反推，先找出使 Φ(z) 等于左尾面积的 z，再用 x = μ + z·σ 换算回去。
问与答
P(X < a) 和 P(X ≤ a) 有什么区别？
对于正态分布这样的连续分布，没有区别。取某个确切值的概率为零，所以 P(X < a) = P(X ≤ a)。离散分布（如二项分布和泊松分布）则不同。
如何求正态分布的百分位数？
使用反求模式并给出左尾面积。第 90 百分位数是满足 P(X < x) = 0.90 的值 x：z = Φ⁻¹(0.90) = 1.2816，所以 x = μ + 1.2816σ。若要求前 10% 的分数线，则使用右尾面积 0.10，得到的值相同。
68–95–99.7 法则说的是什么？
正态分布中约 68% 落在平均数的一个标准差之内，约 95% 落在两个标准差之内（更精确地说是 1.96σ），约 99.7% 落在三个标准差之内。用它可以快速检查答案是否在合理范围内。
为什么我的 z 表给出的答案略有不同？
印刷的表格把 z 取到两位小数，把 Φ(z) 取到四位小数。本计算器用数值方法计算 Φ，远比印刷的 z 表精确，在远尾部也是如此，并显示 4 位有效数字，因此查表得到的答案最后一位可能不同。
什么时候可以用正态分布处理二项分布问题？
当 np 和 n(1 − p) 都至少约为 10 时，二项分布与 μ = np、σ = √(np(1 − p)) 的正态分布很接近。在边界处加上或减去 0.5（连续性修正）。若要精确答案，请使用二项分布计算器。
自己练一练
练习正态分布
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。