免费的数列与级数练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：等差级数与等比级数, 收敛性与幂级数, 泰勒多项式与麦克劳林多项式。
做得好。想再做下一题吗？准备好做下一题了吗？ 每个主题每天都有 5 道新题。
数列是一列数 a₁, a₂, a₃, …，级数是它们的和。每次考试都会出现两种类型。
等差数列每一步加上同一个公差 d：3, 7, 11, 15, … 的 d = 4。
对于 3, 7, 11, …：a₂₀ = 3 + 19·4 = 79，S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820。注意 n − 1：从第一项到第 20 项只有 19 步。
等比数列每一步乘以同一个公比 r：2, 6, 18, … 的 r = 3。
答案: 32. d = 3，所以 a₁₀ = 5 + 9·3 = 32。用 10·3 代替 9·3 会得到 35。
不断累加 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + … 的各项，和会逐渐增加到 4 而永远不会越过它。
当 |r| < 1 时，Sₙ 中的项 rⁿ 趋于 0，无穷和存在：
这里 a₁ 是和的第一项。对于 Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ，第一项为 8·(1/2)² = 2，所以 S = 2/(1 − 1/2) = 4。
当 |r| ≥ 1 时，各项不会缩小，级数没有和：它发散。
答案: 4. 第一项 (k = 0) 为 3，r = 1/4，所以 S = 3/(1 − 1/4) = 4。在分母中用 1 + r 会得到 2.4。
大多数级数没有简单的求和公式，但你仍然可以判断和是否有限。按以下顺序使用判别法：
例：对于 Σ k/2ᵏ，比值为 ((k + 1)/k)·(1/2)，趋于 L = 1/2 < 1，所以收敛。
答案: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 是 p = 1/2 ≤ 1 的 p-级数，所以发散。1/k² 的 p = 2，(2/3)ᵏ 是 r < 1 的等比级数，而 3ᵏ/k! 的比值判别法给出 L = 0。
幂级数 Σ ck(x − x₀)ᵏ 是一个没有尽头的多项式。当 x 离中心 x₀ 足够近时它收敛。
对整项使用比值判别法，得到收敛半径 R：级数在 |x − x₀| < R 时收敛，在 |x − x₀| > R 时发散。
例：Σ xᵏ/(k·3ᵏ) 有 ck/ck+1 = 3(k + 1)/k，趋于 3。所以 R = 3，级数在 −3 < x < 3 时收敛。
在两个端点处，判别法给不出答案；如果题目要求完整的区间，请单独检验它们。
在点 a 附近，光滑函数看起来像一个多项式。n 次泰勒多项式在 a 处与函数值及前 n 阶导数相匹配：
当 a = 0 时它称为麦克劳林多项式。请熟记这些级数：
取的项越多，多项式与函数保持接近的范围越大。
用 3 次麦克劳林多项式近似 e0.5，并估计误差上界。
误差至多为 M·|x|⁴/4!，其中 M 是四阶导数 eᵗ 在 0 与 0.5 之间的最大值：M = e0.5 ≈ 1.6487。
计算器给出 e0.5 = 1.648721，所以真实误差为 0.0029，在误差界之内。
e0.5 ≈ 1.6458，误差至多为 0.0043。
简单：等差数列和等比数列的和。中等：判断收敛性、比值判别法和收敛半径。困难：泰勒多项式、它们的系数和误差界。
答案: −1/6. sin x = x − x³/3! + …，而 3! = 6，所以系数为 −1/6。忘记负号会得到 1/6。
等比数列 aₙ = 5·0.85ⁿ⁻¹ 是递减的。求第一个使 aₙ < 0.2 的下标 n。
求： n
等差数列与等比数列：等差数列每一步加上同一个公差 d，aₙ = a₁ + (n − 1)d，其和为 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。等比数列每一步乘以同一个公比 r，aₙ = a₁·rⁿ⁻¹，Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)。当 |r| < 1 时，各项缩小得足够快，无穷和存在：S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
求和 S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3))。
求： S
收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。
f(x) = cos x 在 x = 1 处用其 n 次麦克劳林多项式近似。利用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1），求能保证误差小于 1 × 10⁻⁶ 的最小次数 n。
求： n
泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。
对于 3, 7, 11, …：a₂₀ = 3 + 19·4 = 79，S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820。注意 n − 1：从第一项到第 20 项只有 19 步。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。