微积分（二）：练习题和考试题

第二门微积分课程：积分技巧、含收敛判别法的数列与级数、幂级数与泰勒多项式，以及含偏导数、梯度、临界点和二重积分的多元微积分。根据课程设置不同，这部分内容有时放在微积分（三）中讲授。

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速成包（PDF）公式表、方法步骤和附完整解答的练习题，可直接打印。

本课程的主题

微积分（二）考试技巧

在使用任何收敛判别法之前，先检查各项是否趋于 0；如果不趋于 0，级数发散。
在代入数值之前，先写出带阶乘的泰勒多项式。
对于二重积分，先画出区域草图：草图给出内层积分的积分限。

例题详解

积分简单

将 y = 0.5x 之下、从 x = 0 到 x = 3 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

求： V

显示提示

在 x 处的薄片是半径 y = 0.5x 的圆盘。
V = π∫₀³ (0.5x)² dx.
= π·0.25·x³/3.

显示答案和分步解答

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

圆盘法

V = π∫₀³ 0.25x² dx

积分

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

答案

V = 7.069

检验：半径 1.5、高 3 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 7.069。

数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3))。

a_k = 12/(k(k + 3))

求： S

显示提示

部分分式：1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))。
写出前几项：大部分会相互抵消（裂项求和）。
剩下的是 (12/3)·(1 + … + 1/3)。

显示答案和分步解答

部分分式

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

取消

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

答案

S = 7.333

练习方式

“练习本课程”会混合出该课程所有主题的题目，就像真正的考试一样。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
模拟考试限时且没有提示，结束后你会得到分数和完整的回顾。

本课程的计算器

半衰期与指数衰减计算器积分计算器（定积分与不定积分）