微分方程：练习题和考试题

一阶微分方程及其应用：增长与衰减、牛顿冷却定律、混合问题以及用积分因子求解的线性方程，还有用于没有公式解的方程的欧拉法和休恩法。

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速成包（PDF）公式表、方法步骤和附完整解答的练习题，可直接打印。

本课程的主题

微分方程考试技巧

先判断类型：可分离变量型、线性型，还是增长或冷却等标准模型。
最后利用初始条件求出常数。
把答案代回方程进行检验。

例题详解

微分方程简单

对方程 y″ + 4y′ + 3y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 4y′ + 3y = 0

求： r

显示提示

代入 y = e^rt。
r² + 4r + 3 = 0.
因式分解或用求根公式。

显示答案和分步解答

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征方程

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

根

r = −1, r = −3

最接近零: r = −1

答案

r = −1

通解为 y = A·e^−1t + B·e^−3t。

积分中等

计算 I = ∫₀² x·cos x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀² x·cos x dx

求： I

显示提示

取 u = x，dv = cos x dx。
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

显示答案和分步解答

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原函数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

极限

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

答案

I = 0.4024

练习方式

“练习本课程”会混合出该课程所有主题的题目，就像真正的考试一样。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
模拟考试限时且没有提示，结束后你会得到分数和完整的回顾。

本课程的计算器

半衰期与指数衰减计算器带步骤的导数计算器积分计算器（定积分与不定积分）