免费的数值方法练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：求根与插值, 梯形法则与辛普森法则, 欧拉法、休恩法与龙格–库塔法。
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许多方程和积分的答案没有公式：x = cos x、∫e−x²dx，或大多数微分方程。数值方法一步一步地计算答案，可达到你所需要的任何精度。
二分法在 f 变号的区间 [a, b] 上求 f(x) = 0 的根。取中点 c = (a + b)/2，保留仍然变号的那一半。
例：f(x) = x² − 2 在 [1, 2] 上。c₁ = 1.5 给出 f = 0.25 > 0，所以保留 [1, 1.5]。c₂ = 1.25 给出 f = −0.4375 < 0，所以保留 [1.25, 1.5]。然后 c₃ = 1.375。
每一步使区间减半，所以 n 步之后宽度为 (b − a)/2ⁿ。二分法很慢，但只要有变号，它总是有效。
答案: 1/1024. 每一步都减半：1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0.001。除以 10 或 20 是把逐步减半当成了线性减小。
牛顿–拉弗森法沿切线下降到 x 轴，并把交点作为下一个猜测值：
对于 f(x) = x² − 2，f′(x) = 2x，x₀ = 2：x₁ = 2 − 2/4 = 1.5，x₂ = 1.5 − 0.25/3 = 1.416667，x₃ = 1.414216。根为 √2 = 1.414214。
在根附近，牛顿法每一步大约使正确数字的位数加倍。当 f′(xₙ) 接近 0，或者起点离根很远时，它可能失败。
每个迭代值至少保留六位数字；过早四舍五入会使该方法无法继续改进。
答案: 2.25. f(2) = −1，f′(2) = 4，所以 x₁ = 2 − (−1)/4 = 2.25。加上 −1/4 而不是减去它会得到 1.75。
表格只给出某些点的值。线性插值在两个相邻的表格点之间画一条直线：
例：表中给出 f(1) = 2.0 和 f(2) = 2.6。在 x = 1.4 处，比例为 0.4，所以 f(1.4) ≈ 2.0 + 0.6·0.4 = 2.24。
反插值的做法相同，只是反过来：要找 y = 2.3 的位置，比例为 (2.3 − 2.0)/0.6 = 0.5，所以 x ≈ 1.5。
要对 f 从 a 到 b 积分，把区间分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀, x₁, …, xₙ。
梯形法则把每条窄条中的曲线换成直线。每个内部节点属于两条窄条，所以计两次：
辛普森法则每次通过三个节点拟合一条抛物线。它要求 n 为偶数：
对于 ∫01 x² dx = 1/3，取 n = 2 (h = 0.5)：T = 0.25·(0 + 0.5 + 1) = 0.375，而 S = (0.5/3)·(0 + 1 + 1) = 0.3333，是精确值。
梯形法则的误差按 h² 缩小，辛普森法则的按 h⁴ 缩小：把 h 减半，辛普森法则的精度约提高 16 倍。
答案: 1, 2, 2, 1. 两个端点只属于一条窄条，内部点属于两条，所以权重是 1, 2, 2, 1，再乘以因子 h/2。带 4 的权重属于辛普森法则。
对于 y′ = f(t, y)，y(t₀) = y₀，以步长 h 沿时间向前推进。欧拉法使用每一步起点处的斜率：
休恩法（改进欧拉法）先用欧拉法预测，再取两端斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。
欧拉法的误差与 h 成正比，休恩法的与 h² 成正比。经典龙格–库塔法 (RK4) 使用四个斜率，精度达到 h⁴。
用欧拉法、步长 h = 0.1，求解 y′ = y，y(0) = 1，直到 t = 0.3，并与精确解 eᵗ 比较。
精确值为 e0.3 = 1.349859，所以整体误差为 0.0189。从 y₀ 出发做一步休恩法会得到 1 + 0.05·(1 + 1.1) = 1.105，而 e0.1 = 1.105171。
用欧拉法得 y(0.3) ≈ 1.331；误差 0.019 大致与 h 成比例地缩小。
简单：二分法、牛顿迭代以及表中插值。中等：梯形法则和辛普森法则、它们的误差以及所需的窄条数。困难：微分方程的欧拉法、休恩法和龙格–库塔法的步骤。
答案: 1.4. y₁ = 1 + 0.2·(2·1) = 1.4。斜率中忘记因子 2 会得到 1.2；1.49 是精确值 e0.4。
二分法从长度为 4 的区间开始。每一步使区间减半。区间短于 0.0001 之前，至少需要多少步 n？
求： n
求根与插值：二分法保留一个函数 f 变号的区间 [a, b]；每一步取中点 c = (a + b)/2，并保留仍然变号的那一半，所以 n 步之后区间宽度为 (b − a)/2ⁿ。牛顿–拉弗森法沿切线走到坐标轴：xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn)；在单根附近，每一步大约使正确数字的位数加倍。两个表格点之间的线性插值：y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)。
用梯形法则取 n = 3 条窄条，近似计算 ∫01.5 √(1 + x³) dx。给出 T。
求： T
数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。
这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。
对 y′ = 1 + sin(ty)，y(0) = 0.5，用休恩法（改进欧拉法），取 h = 0.2，估计 y2 ≈ y(0.4)。
求： y2
y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。
许多方程和积分的答案没有公式：x = cos x、∫e−x²dx，或大多数微分方程。数值方法一步一步地计算答案，可达到你所需要的任何精度。
例：f(x) = x² − 2 在 [1, 2] 上。c₁ = 1.5 给出 f = 0.25 > 0，所以保留 [1, 1.5]。c₂ = 1.25 给出 f = −0.4375 < 0，所以保留 [1.25, 1.5]。然后 c₃ = 1.375。
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