免费的置信区间练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：z 区间, t 区间, 样本量。
做得好。想再做下一题吗？准备好做下一题了吗？ 每个主题每天都有 5 道新题。
学习本课之前： 正态分布
你想知道整个总体的均值 μ，例如一家工厂生产的所有电池的平均寿命。你不能把它们全部测试一遍，所以测试 n 个电池的样本。
样本均值 x̄ 是对 μ 的最佳猜测，但换一个样本会得到略有不同的 x̄。单个数字掩盖了这种不确定性。
置信区间则给出一个范围：从 x̄ 减去一个误差范围，到 x̄ 加上一个误差范围。
95% 置信区间是用一种方法构造的，该方法在 95% 的样本中能包含真实的 μ。置信水平越高，区间越宽。
答案: 99% 的区间. 要更有把握区间包含 μ，区间就必须更宽。99% 的临界值 2.576 比 90% 的 1.645 大。
当总体标准差 σ 已知时，区间为：
σ/√n 一项是标准误：x̄ 在不同样本之间的波动程度。样本越大，标准误越小。
临界值 z 取决于置信水平。记住这三个：
误差范围为 E = z · σ/√n。区间从 x̄ − E（下限）到 x̄ + E（上限）。
答案: 57.94. E = 1.96 · 12/√64 = 1.96 · 1.5 = 2.94，所以上限是 57.94。忘了 √n 会得到 78.52，57.47 用了 90% 的值 1.645。
通常 σ 是未知的。这时要用样本标准差 s，临界值来自 t 分布：
自由度 df 为 n − 1。t 值比 z 大，所以区间更宽：它考虑了 s 中额外的不确定性。n 很大时，t 接近 z。
在 95% 时：df = 9 时 t = 2.262，df = 15 时 t = 2.131，df = 29 时 t = 2.045。
有时你需要规划样本量：误差范围至多为 E 时，n 必须多大？由 E = zσ/√n 解出 n：
一律向上取整到下一个整数。向下取整会使误差范围略大于 E。
答案: 163. (1.96 · 13/2)² = 12.74² = 162.3，向上取整为 163。向下取整为 162 会使误差范围刚好超过 2，13 是忘了平方。
对于样本量的问题：n = (zσ/E)²，向上取整。
跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。
一个 16 件的样本，均值为 40，标准差 s = 6。总体大致服从正态分布。求均值的 95% 置信区间。
只知道样本标准差 s，不知道 σ。所以用自由度 df = n − 1 = 15 的 t。
若用 z = 1.96，误差范围为 2.94。t 区间稍宽一些，σ 未知时理应如此。
95% 置信区间为 [36.80, 43.20]。
答案: t = 2.262（df = 9）. σ 未知，所以用自由度 df = n − 1 = 9 的 t。用 z 忽略了 s 的不确定性，df = 10 则是忘了减一。
快速检查：样本均值总是恰好位于区间的正中间。
一个包含 200 次测量的样本，均值为 174.5。已知总体标准差为 30。 求均值的 90% 置信区间的上限。
求： 上限
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 7.8。 如果同一研究改用 100 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
求： E₂
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
21 根机加工轴的直径样本标准差为 1.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。
求： σ (µm)
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
σ 的 95% 区间：[0.9181, 1.733] µm。
你想知道整个总体的均值 μ，例如一家工厂生产的所有电池的平均寿命。你不能把它们全部测试一遍，所以测试 n 个电池的样本。
样本均值 x̄ 是对 μ 的最佳猜测，但换一个样本会得到略有不同的 x̄。单个数字掩盖了这种不确定性。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。