描述统计：练习题及分步解答

1中心：均值与中位数

描述性统计用少数几个值概括一列称为数据的数字。首先要问：中心在哪里？

均值就是普通的平均数：把所有值相加，再除以个数 n。

符号 Σ 的意思是“全部加起来”，x̄ 表示“样本均值”。对于 3、5 和 10，均值为 18/3 = 6。

中位数是把数据从小到大排序后位于中间的值。

• n 为奇数：中位数是唯一的中间值。对于 3、5、10，它是 5。
• n 为偶数：中位数是中间两个值的平均数。

一个极端值，即离群值，会把均值拉向它，但几乎不会移动中位数。因此收入常用中位数来概括。

2离散程度：标准差

两组数据可以有相同的均值，但离散程度却大不相同。标准差 s 衡量数值通常偏离均值多远。

每个值都有一个偏差 x − x̄。偏差之和为零，所以先把它们平方，这样就都成了正数。

这是样本标准差：除以的是 n − 1，而不是 n。s 的平方称为方差。

对于 2、4 和 6：均值为 4，偏差为 −2、0 和 2，平方和为 8，8/2 = 4，s = √4 = 2。

3z 分数与正态分布

许多测量值，如身高或考试成绩，服从钟形曲线：正态分布。其中心是均值 μ，宽度由标准差 σ 决定。

z 分数表示一个值偏离均值多少个标准差：

当 μ = 70、σ = 10 时，74 分的 z = 4/10 = 0.4。z 为负表示该值低于均值。

68–95–99.7 法则：约 68% 的值落在均值 1σ 范围内，95% 落在 2σ 范围内，99.7% 落在 3σ 范围内。

当 μ = 50、σ = 5 时，值 60 的 z = 2。约 95% 落在 40 到 60 之间，所以约 2.5% 高于 60。查 z 表可得精确值 0.0228。

4分步方法

1. 把数据写成一行，并数出 n。
2. 均值：全部相加再除以 n。
3. 中位数：先排序，然后取中间的值，或取中间两个值的平均数。
4. 标准差：每个值减去均值，平方，相加，除以 n − 1，再开平方。
5. z 分数：减去 μ，除以 σ。然后用 68–95–99.7 法则或 z 表求比例。

列一张含 x、x − x̄ 和 (x − x̄)² 各列的表，可使标准差的计算井井有条。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 不先排序就取列表的中间。
• 求样本标准差时除以 n 而不是 n − 1。
• 最后忘了开平方，得到的是方差而不是 s。
• z 分数的符号弄错：低于均值的值，z 为负。
• 在 z 分数中忘了除以 σ。

7考试题是什么样的

• 简单：一小列数据的均值或中位数。
• 中等：五六个值的样本标准差。除以 n − 1。
• 困难：正态分布。求 z 分数，或高于或低于某给定值的比例。

快速检查：均值和中位数都位于最小值和最大值之间，s 永远不为负。