最优化：练习题及分步解答

免费的最优化练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：最大面积或体积, 最低成本或最少用料, 利润与收入。

免费练习题简单
河xxy

一位农民有 240 m 长的围栏，要沿一条笔直的河围出一块矩形田地。沿河一侧不需要围栏。 求可围成的最大面积 A。

240 m2x + y = 240
m²
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练习内容

  1. 简单最大面积或体积
  2. 中等最低成本或最少用料
  3. 困难利润与收入

关键公式

方法
把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

从零开始学习最优化

学习本课之前： 导数

1什么是优化

优化就是找最佳值：给定长度的围栏能围出的最大面积、做罐头最省的金属，或最高的利润。

你想使之尽可能大或尽可能小的量，取决于一个变量，例如田地的宽度 x。

想象它的图像。在山顶和谷底，图像有一瞬间是平的。所以那里的斜率为零。

这就是关键思想：在最大值或最小值处，导数为 0。解 Q′(x) = 0 就能找到最佳的 x。

自测 田地的面积 A(x) 在 x = 12 时取最大值。A′(12) 是多少？
  1. 0
  2. 一个正数
  3. 一个负数
  4. 与 A(12) 相同

答案: 0. 在图像的顶部，切线是水平的，所以斜率为 0。正的斜率表示面积仍在增加。

2目标和约束

每个优化问题都有两个部分。在计算之前先把它们说出来。

  • 目标：要最大化或最小化的量，例如面积 A 或成本 C。
  • 约束：一个固定的条件，例如围栏的总长度或罐头必须容纳的体积。

目标通常有两个变量，例如 A = x · y。这样还不能求导。

用约束把 y 用 x 表示出来。这样目标就只取决于 x。

例：周长为 20 m 的矩形有 2x + 2y = 20，所以 y = 10 − x，A(x) = x(10 − x) = 10x − x²。

先画草图，并在上面标出每条边的长度。大多数错误出在约束上。

自测 河边的一块田地用 40 m 的围栏围三面：两条长度为 x 的边，和一条平行于河的边 y。约束是什么？
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

答案: 2x + y = 40. 有三段围栏：x、x 和 y。靠河的一边不需要围栏。2x + 2y 是四边都围栏的完整矩形。

3成本和利润问题

在商业问题中，目标是利润：收入减去成本。

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

这里 q 是售出的单位数，p 是每单位的价格。如果价格取决于 q，先把那个公式代入 R。

例：价格为 p = 60 − q，成本为 C = 100 + 30q。

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

于是最佳价格为 p = 60 − 15 = €45。仔细读题：它可能问的是 q、p 或利润 P 本身。

自测 一种产品每单位售价 €40。q 个单位的成本为 C = 100 + 10q + 0.5q² 欧元。产量 q 为多少时利润最高？
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

答案: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0.5q²，所以 P′ = 30 − q = 0，q = 30。对 0.5q² 求导时忘了因子 2 会得到 60。

4分步方法

  1. 画草图并给变量命名。
  2. 写出目标 Q（面积、成本、利润）和约束。
  3. 用约束把 Q 写成一个变量的函数 Q(x)。
  4. 求导并解 Q′(x) = 0。
  5. 检查它是不是正确类型的点：Q″ < 0 是最大值，Q″ > 0 是最小值。
  6. 回答所问的问题：x、另一条边，或 Q 本身的最优值，并带上单位。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一位农民有 60 m 的围栏，用来围一块沿直河的矩形田地。沿河不需要围栏。求平行于河的边 y 和最大面积 A。

1

草图和约束

xxyA

河在上方，所以只有三面需要围栏：两条边 x 和一条边 y。

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

用一个变量表示面积

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

令导数为零

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

它是最大值吗？

A″(x) = −4 < 0

二阶导数为负，所以 x = 15 m 给出最大面积。

xA(15, 450)1530
5

另一边和面积

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

检验答案

在两侧各试一个值。x = 14 给出 14 · 32 = 448 m²，x = 16 给出 16 · 28 = 448 m²。两者都小于 450 m²。

答案

y = 30 m，最大面积为 A = 450 m²。

6常见错误

  • 给出错误量的答案：题目问的是 y，而你给出了 x。
  • 对仍有两个变量的目标求导。要先用约束。
  • 写错约束，例如连靠河的一边也围了栏。
  • 没有检查该点是最大值还是最小值。
  • 忘了单位，或者面积用 m 而不是 m²。
自测 沿河有 40 m 的围栏（2x + y = 40），最佳宽度是 x = 10 m。题目问的是平行于河的边 y。你怎么回答？
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

答案: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m。回答 10 m 给的是 x 而不是 y，200 m² 是面积，不是边长。

7考试题是什么样的

  • 简单：最大面积或体积，例如沿河的田地，或用一道额外围栏隔开的围栏圈。
  • 中等：最小成本或材料，例如封闭的罐头（V = πr²h，A = 2πr² + 2πrh），或每米有两种价格的围栏。
  • 困难：利润和收入。建立 P = R − C，解 P′(q) = 0，然后求价格或最大利润。

快速检查：把比你的答案略大和略小的值代入 Q。两者都应该更差。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
x18 cm18 cmx

用一张 18 cm × 18 cm 的正方形纸板做无盖盒子：从四个角各剪去边长为 x 的相同正方形，再把四边折起。 求可能的最大容积 V。

18 cm × 18 cm

求： V (cm³)

显示提示
  1. 底面尺寸为 (18 − 2x) × (18 − 2x)，高为 x。
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. 只有满足 0 < x < 9 的根才有意义。
显示答案和分步解答

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

容积关于 x 的函数

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

令导数为零

较大的根使底边 ≤ 0，所以不在允许范围内。

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 或 x = 9
x = 3 cm

体积

V = 3·12·12 = 432 cm³

答案

V = 432 cm³
例题 2中等
rh

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求可能的最小表面积 A。

V = 400 cm³

求： A (cm²)

显示提示
  1. 利用体积消去 h：πr²h = 400，所以 h = 400/(πr²)。
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
显示答案和分步解答

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

高度和面积

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

答案

A = 300.5 cm²

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

例题 3困难
p (€)R(p)10当前

一家剧院每场以每张 €10 售出 580 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 20 张（每降低 €1，就多 20 张）。 求每场的最大收入 R。

580 × €1020 / €1

求： R (€)

显示提示
  1. 价格为 p 时的售票数：n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p。
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
显示答案和分步解答

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

收入关于价格的函数

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

令导数为零

R″(p) = −40 < 0，所以这是最大值。

p = 780/40 = €19.5

最大收入

n = 780 − 20·19.5 = 390
R = 19.5·390 = €7605

答案

R = €7605

问与答

什么是最优化？

优化就是找最佳值：给定长度的围栏能围出的最大面积、做罐头最省的金属，或最高的利润。

你想使之尽可能大或尽可能小的量，取决于一个变量，例如田地的宽度 x。

最优化题目如何一步步求解？

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

最优化有哪些常见错误？
  • 底面的每条边两端都要减去一个正方形，所以底边为 a − 2x 和 b − 2x，而不是 a − x 和 b − x。
  • 罐是封闭的：顶和底都要计入，A = 2πr² + 2πrh。
  • 这是当前价格下的收入。先求出使 R′(p) = 0 的价格。
最优化练习包括哪些内容？
  • 简单: 最大面积或体积
  • 中等: 最低成本或最少用料
  • 困难: 利润与收入

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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