微积分（一）：练习题和考试题

导数和积分：求导法则、切线和最优化等应用，以及主要的积分方法。

免费练习本课程练习本课程参加模拟考试每天 5 道免费题目，无需绑定银行卡。

速成包（PDF）公式表、方法步骤和附完整解答的练习题，可直接打印。

本课程的主题

微积分（一）考试技巧

把链式法则完整写出来：外层函数的导数乘以内层函数的导数。
对你的结果求导，以检验积分是否正确。
对定积分进行换元时，积分上下限也要随之改变。

例题详解

极限简单

求极限 L = lim_x→1 (x⁴ − 1)/(x − 1)。

f(x) = (x⁴ − 1)/(x − 1)x → 1

求： L

显示提示

代入得到 0/0。对分子因式分解。
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
x⁴ − 1 = (x − 1)(x³ + x² + x + 1).

显示答案和分步解答

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

尝试直接代入

分子 → 0 且分母 → 0，所以是 0/0 型。

因式分解并约去

(x⁴ − 1)/(x − 1) = x³ + x² + x + 1

代入

L = 1·1³ + 1·1² + 1·1 + 1·1 = 4

答案

L = 4

这就是 xⁿ 在 x = a 处的导数：n·aⁿ⁻¹。

导数中等

设 f(x) = x³·e^−x。求 f′(1)。

f(x) = x³·e^−xx = 1

求： f′(1)

显示提示

用乘积法则，u = x³，v = e^−x。
u′ = 3x², v′ = −1·e^−x.
f′(x) = e^−x·(3x² + (−1)·x³).

显示答案和分步解答

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

代入

f′(1) = 0.3679·(3 + (−1)) = 0.7358

答案

f′(1) = 0.7358

练习方式

“练习本课程”会混合出该课程所有主题的题目，就像真正的考试一样。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
模拟考试限时且没有提示，结束后你会得到分数和完整的回顾。

本课程的计算器

带步骤的导数计算器积分计算器（定积分与不定积分）