极限：练习题及分步解答

免费的极限练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：直接代入与因式分解, 无穷远处的极限, 洛必达法则。

免费练习题简单
xy9x = 9

求极限 L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9)。

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
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练习内容

  1. 简单直接代入与因式分解
  2. 中等无穷远处的极限
  3. 困难洛必达法则

关键公式

直接代入
先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限
除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
洛必达法则
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

从零开始学习极限

1什么是极限

极限描述当 x 接近某个数时函数接近的值。恰好在那个数处发生什么并不重要。

取 f(x) = (x² − 1)/(x − 1)。在 x = 1 处得到 0/0，它没有值。但你可以试试接近 1 的数。

  • x = 0.9 时 f = 1.9。
  • x = 0.99 时 f = 1.99。
  • x = 1.01 时 f = 2.01。

这些值越来越接近 2。我们写作：

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

图像是一条直线，缺了一个点，即 (1, 2) 处的一个洞。极限就是这个洞的高度。

自测 函数 g 满足 g(2.9) = 5.9，g(2.99) = 5.99，g(3.01) = 6.01。它在 x = 3 处没有定义。当 x → 3 时的极限是多少？
  1. 3
  2. 5.99
  3. 6
  4. 不存在，因为 g(3) 没有定义

答案: 6. 这些值从两侧都趋近于 6，所以极限是 6。极限只看 x = 3 附近的值，从不看 x = 3 本身。

2代入、0/0 和因式分解

总是先尝试直接代入：把这个数代进去。如果得到一个普通的数，那就是极限。

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

如果得到 0/0，你还没有做完。0/0 称为不定式：它是要化简的信号，不是答案。

通常分子和分母有一个公因式，在那一点为零。把两者分解因式，约去公因式，然后再代入。

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

所以 x → 3 时的极限是 3 + 3 = 6。有用的因式分解模式：

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • 像 x² − x − 30 这样的二次式分解为 (x − 6)(x + 5)：找两个数，乘积为 −30，和为 −1。

有平方根时，把分子分母同乘以共轭式：(√x − 2)(√x + 2) = x − 4。

自测 limx→2 (x² − 4)/(x − 2) 是多少？
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. 不存在，因为得到 0/0

答案: 4. 代入得到 0/0，所以要因式分解：(x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2，在 x = 2 处为 4。停留在 0/0 是“不存在”这个错误答案的根源。

3无穷远处的极限和洛必达法则

x → ∞ 表示 x 无限增大。对于多项式的分式，x 很大时只有最高次幂起作用。

把每一项除以分母中 x 的最高次幂。像 4/x 和 7/x² 这样的项趋于 0。

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • 分子分母的最高次幂相同：极限是首项系数之比。
  • 分母的次数更高：极限为 0。
  • 分子的次数更高：分式无限增大，所以没有有限的极限。

对于 √(x² + 6x) − x，乘以共轭式。得到 6x/(√(x² + 6x) + x)，它趋于 6/(1 + 1) = 3。

洛必达法则：如果代入得到 0/0 或 ∞/∞，你可以把分子和分母分别换成各自的导数。

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

如果又得到 0/0，就再用一次这个法则。三角函数的极限总是用弧度制的 x。

自测 limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x) 是多少？
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

答案: 2. 最高次幂相同（x²），所以极限是首项系数之比：4/2 = 2。½ 是除反了得到的。

4分步方法

  1. 代入这个数。普通的数就是答案。
  2. 如果得到 0/0，对分子和分母因式分解，或者有根号时乘以共轭式。
  3. 约去公因式，再次代入。
  4. 如果 x → ∞，把每一项除以 x 的最高次幂，让 a/x 这样的项趋于 0。
  5. 如果因式分解行不通（eˣ、sin、cos、ln），对 0/0 或 ∞/∞ 的形式用洛必达法则。
  6. 用一个非常接近该点的数检验，例如 x = 1.001。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

求 L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2)。

1

尝试代入

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

这是不定式 0/0，所以必须先化简。

2

分解分子

8 = 2³，所以分子是立方和，其中 a = 2。

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

约去公因式

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

这是允许的，因为 x 只是接近 −2，所以 x + 2 从不恰好为 0。

4

再次代入

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

检验答案

试 x = −1.99：(−7.880599 + 8)/0.01 = 11.94，接近 12。

xy−212

图像是抛物线 x² − 2x + 4，在 (−2, 12) 处有一个洞。

答案

L = 12

6常见错误

  • 把 0/0 写成答案，或者说极限不存在。0/0 的意思是：先化简。
  • 在代入没有得到 0/0 或 ∞/∞ 时使用洛必达法则。
  • 在洛必达法则中使用商法则。要对分子和分母分别求导。
  • 在无穷远处，比较写出来的第一项，而不是最高次幂。
  • 在含 sin 或 cos 的极限中使用度而不是弧度。
自测 limx→1 (x² + 1)/(x + 1) 是多少？
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 不存在

答案: 1. 代入得到 2/2 = 1，这是一个普通的数，所以它就是极限。在这里使用洛必达法则（2x/1 = 2）是错的，因为它的形式不是 0/0。

7考试题是什么样的

  • 简单：直接代入和因式分解。代入得到 0/0，然后像例子中那样因式分解并约分。
  • 中等：无穷远处的极限。除以最高次幂，或对含根号的情形（如 √(x² + 4x) − x）用共轭式。
  • 困难：洛必达法则，例如 x → 0 时的 (eˣ − 1 − x)/x² 或 (1 − cos 3x)/x²。你可能需要用两次这个法则。

快速检查：用计算器代入一个非常接近该点的数。结果应该接近你的答案。

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例题详解

例题 1简单
xyx = 1

求极限 L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1)。

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

求： L

显示提示
  1. 代入得到 0/0。对分子因式分解。
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
显示答案和分步解答

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

尝试直接代入

分子 → 0 且分母 → 0，所以是 0/0 型。

因式分解并约去

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

代入

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

答案

L = 4

这就是 xⁿ 在 x = a 处的导数：n·aⁿ⁻¹。

例题 2中等
xyy = L

求极限 L = limx→∞ (1 + 1/x)x。给出小数值。

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

求： L

显示提示
  1. 这是 1^∞ 型。写成 L = e^(ln L)，求 ln L。
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. 当 u 很小时，ln(1 + u) ≈ u。这里 u = 1/x。
显示答案和分步解答

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·1 = 1

还原对数

L = e1 = 2.718

答案

L = 2.718
例题 3困难
xyx = 0

求极限 L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

求： L

显示提示
  1. 在 x = 0 处：ln 1 = 0，sin 0 = 0，所以是 0/0 型。
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. 把 x = 0 代入 f′/g′。
显示答案和分步解答

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

洛必达法则

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 2/3 = 0.6667

答案

L = 0.6667

问与答

什么是极限？

极限描述当 x 接近某个数时函数接近的值。恰好在那个数处发生什么并不重要。

取 f(x) = (x² − 1)/(x − 1)。在 x = 1 处得到 0/0，它没有值。但你可以试试接近 1 的数。

极限题目如何一步步求解？

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

极限有哪些常见错误？
  • 保留第二个因式的每一项：xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)，在 x = a 处这 n 项都相等。
  • 1^∞ 型是未定式，不等于 1。先取自然对数。
  • 分子的导数保持在分子上：lim f/g = lim f′/g′。
极限练习包括哪些内容？
  • 简单: 直接代入与因式分解
  • 中等: 无穷远处的极限
  • 困难: 洛必达法则

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

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