卡方检验：练习题及分步解答

1卡方检验做什么

卡方检验（χ²，读作“卡方”）比较的是计数。它要问的是：你观察到的计数与期望的计数之间的差异，是否超出了偶然的范围。

例如：你掷一枚骰子 60 次。如果它是均匀的，每个面应该出现约 60 · 1/6 = 10 次。这些就是期望计数 E。

你观察到 8、12、9、11、6 和 14。这些是观察计数 O。即使骰子是均匀的，它们也从来不会正好是 10。问题是它们是否偏离得太远。

和所有假设检验一样，H₀ 表示没有任何特别的事情发生：骰子是均匀的，或两个变量相互独立。

2检验统计量

对每个类别，取差 O − E，平方，再除以 E。然后对所有类别求和：

平方使每一项都为正。除以 E 使得：期望只有 10 时，差 4 的分量比期望为 1000 时更大。

对于这枚骰子：(8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4.2。

这个拟合优度检验的自由度为 df = k − 1，其中 k 是类别数。六个面给出 df = 5。

χ² 大意味着数据与 H₀ 拟合得很差。如果 χ² 大于表中的临界值，就拒绝 H₀。在 α = 0.05 时：

• df 1: 3.841, df 2: 5.991, df 3: 7.815
• df 4: 9.488, df 5: 11.070, df 6: 12.592

对这枚骰子，4.2 小于 11.070，所以没有证据表明它不均匀。

3独立性检验

列联表同时按两个变量对个案计数，例如处理方式（行）和结果（列）。H₀：这两个变量相互独立。

如果它们相互独立，每个单元格的期望计数可由合计得出：

然后按与前面相同的公式，对表中每个单元格（不含合计）计算 χ²。

这里 r 是行数，c 是列数，不计合计。2×2 表的 df = 1。

4分步方法

1. 写出 H₀：所声称的比例是正确的（拟合优度），或这些变量相互独立。
2. 计算每个期望计数：E = n · p，或行合计 × 列合计 / 总计。
3. 对每个单元格计算 (O − E)²/E。把它们全部相加得到 χ²。
4. 求 df：拟合优度为 k − 1，独立性检验为 (r − 1)(c − 1)。
5. 查出该 df 在 α = 0.05 时的临界值。
6. 如果 χ² 大于临界值，就拒绝 H₀。用文字写出结论。

检查：每行每列的期望计数之和，应与观察计数的合计相同。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 用百分比或比例代替计数。χ² 只适用于计数。
• 除以 O 而不是除以 E。
• 把合计行或合计列也算进求和。
• 用错 df：对表格来说是 (r − 1)(c − 1)，而不是单元格数减一。
• 当 χ² 小于临界值时拒绝 H₀。只有较大的 χ² 才是反对 H₀ 的证据。

7考试题是什么样的

• 简单：拟合优度。骰子各面的计数或糖果颜色的计数与所声称的比例比较；计算 χ²。
• 中等：独立性检验。由合计计算期望计数，再算 χ²，不做连续性校正。
• 困难：临界值判断。求 df，并在 α = 0.05 下从表中查出临界值 χ²_crit。

快速检查：χ² 永远不为负，只有当每个观察计数都等于其期望计数时才为 0。