免费的导数练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：幂法则, 链式法则与乘积法则, 切线与极值。
做得好。想再做下一题吗？准备好做下一题了吗？ 每个主题每天都有 5 道新题。
学习本课之前： 极限
导数衡量某个量变化得有多快。如果一辆车的位置每小时变化 50 km，它的速度就是 50 km/h：位置的变化率。
在图像上，某一点的导数就是曲线在该点的斜率：放大到非常近时，它上升或下降得有多陡。
这个斜率就是切线的斜率，切线是在该点刚好与曲线相切的直线。
对于 y = x²，在 x = 1 处的切线斜率为 2。我们写作 f′(1) = 2，读作“f 一撇在 1 处的值”。
答案: 负数. 导数就是斜率。从左到右下降的图像，斜率为负。
你不必每次都用极限。几条法则就能覆盖大多数函数。
这是幂函数求导法则：把指数放到前面作系数，再把指数减一。所以 (x³)′ = 3x²，(x)′ = 1。
也要记住这些：(eˣ)′ = eˣ，(ln x)′ = 1/x，(sin x)′ = cos x，(cos x)′ = −sin x。
答案: 12x² − 2. 对每一项用幂函数法则：(4x³)′ = 12x²，(−2x)′ = −2，常数 7 的导数为 0。
还有两条法则用来处理由其他函数构造出来的函数。
乘积法则，用于两个函数相乘：
链式法则，用于函数里面套着函数：对外层函数求导，内层保持不变，然后乘以内层的导数。
商法则由这两条推出：(u/v)′ = (u′v − uv′) / v²。
答案: 6(2x + 5)². 外层：3(2x + 5)²。内层：(2x + 5)′ = 2。相乘：3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)²。忘了内层的 2 是典型的失误。
要找图像的顶点或谷底（极值），解 f′(x) = 0。二阶导数告诉你是哪一种：f″ < 0 是极大值，f″ > 0 是极小值。
跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。
设 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1。求 x = 0 处的斜率，以及局部极大值和极小值。
对每一项用幂函数法则。常数 1 消失。
所以 x = 0 处的切线每向右一个单位就上升 9 个单位。
f″(1) = −6 为负，所以 x = 1 是极大值。f″(3) = 6 为正，所以 x = 3 是极小值。
图像也证实了这一点：在两点处都是水平的，(1, 5) 是顶点，(3, 1) 是谷底。
f′(0) = 9。局部极大值在 (1, 5)，局部极小值在 (3, 1)。
答案: 1/(2√x). √x = x1/2，所以导数是 ½x−1/2 = 1/(2√x)。先把根式改写成幂就很容易。
斜率题的快速检查：在脑子里想一想图像。如果它在那里是上升的，你的答案就应该是正的。
设 f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7。求图像在 x = 1 处的斜率，即 f′(1)。
求： f′(1)
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
设 f(x) = x3·e−x。求 f′(1)。
求： f′(1)
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
设 f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 6。求局部极小值点的 x 坐标 x。
求： x
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
f″(x) = 6x − 27：在极大值处为负，在极小值处为正。
导数衡量某个量变化得有多快。如果一辆车的位置每小时变化 50 km，它的速度就是 50 km/h：位置的变化率。
在图像上，某一点的导数就是曲线在该点的斜率：放大到非常近时，它上升或下降得有多陡。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。