带步骤的导数计算器
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结果
f(x)x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2
f′(x)2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
f(1)0.509
f′(1)−2.423
切线y = −2.423x + 2.932
对 x 的函数求导，并查看每条法则是如何应用的。计算器能处理多项式、幂和根式、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，并用和法则、乘积法则、商法则和链式法则把它们组合起来，边算边化简结果。它还能求二阶和三阶导数，并在某一点处计算导数和切线。
分步解答
读取函数
f(x) = x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2
和的法则：逐项求导
d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)
d/dx[ln(x)/x] = (1 − ln(x))/x2
d/dx[e−x2] = −2x·e−x2
f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
乘积法则
(uv)′ = u′v + uv′
u = x2, u′ = 2x
v = sin(3x), v′ = 3cos(3x)
d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + x2·(3cos(3x)) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)
链式法则
d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
u = 3x, u′ = 3
d/dx[sin(3x)] = cos(3x)·3 = 3cos(3x)
商法则
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
u = ln(x), u′ = 1/x
v = x, v′ = 1
d/dx[ln(x)/x] = ((1/x)·x − ln(x)·1)/x2 = (1 − ln(x))/x2
链式法则
d/dx[eu] = eu·u′
u = −x2, u′ = −2x
d/dx[e−x2] = e−x2·(−2x) = −2x·e−x2
使用的求导法则
d/dx[f + g] = f′ + g′
d/dx[c·f] = c·f′
d/dx[xn] = n·xn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
d/dx[ex] = ex
sin(u) → cos(u)
ln(u) → 1/u
结果
f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
在该点处计算
f(1) = 0.509
f′(1) = −2.423
切线: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀) = 0.509 + (−2.423)·(x − 1)
关键公式
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
如何一步一步求导数
- 把和拆成各项，分别求导（和法则）。常数因子保留在前面（常数倍法则）。
- 对于幂，使用幂法则 d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹。它也适用于根式和倒数：√x = x^(1/2)，1/x² = x⁻²。
- 对于乘积 u·v，使用乘积法则 (uv)′ = u′v + uv′；对于商 u/v，使用商法则 (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²。
- 对于函数的函数，如 sin(3x) 或 e^(x²)，使用链式法则：对外层函数求导，保留内层，再乘以内层的导数。
- 化简：合并同类项，并约去分子和分母的公因式。
问与答
如何输入函数？
用 ^ 表示幂，函数的自变量用括号：x^3 - 2x、sin(3x)、e^(2x)、ln(x)/x、sqrt(x^2 + 1)。乘号可以省略：3x^2 sin(x) 表示 3x²·sin(x)。e^(2x) 要写上括号；e^2x 会被读作 e²·x。
支持哪些函数？
sin、cos、tan、sec、csc、cot、arcsin、arccos、arctan、exp、ln、log（以 10 为底）和 sqrt，可以任意组合 +、−、·、/ 和幂，包括底数和指数都含 x 的幂，如 x^x。
ln 和 log 有什么区别？
ln 是以 e 为底的自然对数，d/dx[ln x] = 1/x。在本计算器中，log 表示以 10 为底的对数，其导数为 1/(x·ln 10)。
计算器如何求切线？
输入一个点 x₀。切线为 y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀)：它通过曲线上的这个点，并以导数为斜率。
答案总是最简形式吗？
结果通过合并同类项、合并幂和约去公因式来化简，但写法可能与你的教材不同，例如写成 cos(x)/sin(x) 而不是 cot(x)。两种形式是相等的。
自己练一练
练习导数
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。