向量：点积和叉积：练习题及分步解答

免费的向量：点积和叉积练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：模与分量, 点积, 叉积与力矩。

免费练习题简单
xyza

求向量 a = (6, −5, 9) 的模 |a|。

a = (6, −5, 9)
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练习内容

  1. 简单模与分量
  2. 中等点积
  3. 困难叉积与力矩

如何求解向量：点积和叉积问题

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

常见错误

  • 把模相加，而不是把分量相加。
  • 叉积中间（y）分量的符号弄错。
  • 在力矩中使用点的位置，而不是 r = A − O。
  • 取 arctan 时没有检查象限。

关键公式

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

从零开始学习向量：点积和叉积

1什么是向量

有些量只需要一个数：5 kg 的质量或 20 °C 的温度。这些是标量。

另一些量还需要方向。向上推的 40 N 的力与向侧面推的 40 N 的力大不相同。这些是向量。

你用向量的分量来描述它：它沿 x、沿 y 和沿 z 延伸多远。向量 a = (4, 3, 0) 沿 x 延伸 4 个单位，沿 y 延伸 3 个，沿 z 延伸 0 个。

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

力、位移和速度都是向量。工程师用向量运算来合成力、求角度，以及计算三维中的力矩。

向量按分量逐个相加：(1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4)。这就是求几个力的合力的方法。

自测 向量 a = (3, 4, 0) 的长度是多少？
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

答案: 5. 长度为 √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5。把分量相加（7）是错的，因为它们互相垂直，而 25 忘了开平方。

2长度、方向和分量

模 |a| 是向量的长度。它是三维中的勾股定理：

|a| = √(ax² + ay² + az²)

单位向量长度为 1，方向相同。把每个分量除以模就得到它：

û = a / |a|

对于 a = (0, 3, 4)，模为 5，所以 û = (0, 0.6, 0.8)。检验：0.6² + 0.8² = 1。

xy 平面内的力常常用大小 F 和角度 θ 给出，θ 从正 x 轴起逆时针量取。它的分量是：

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

余弦和正弦自动给出符号。120° 的力有负的 x 分量，因为 cos 120° = −0.5。

从分量回到角度时，arctan(Ry/Rx) 只给出 −90° 到 90° 之间的答案。如果 Rx 为负，加 180°。如果只有 Ry 为负，加 360°。

自测 沿 a = (0, 3, 4) 方向的单位向量的 y 分量是多少？
  1. 0.12
  2. 0.43
  3. 0.6
  4. 3

答案: 0.6. 除以模 5：3/5 = 0.6。3 忘了除，0.12 是除以 |a|² = 25，而 0.43 是除以分量之和（7）。

3点积和叉积

两个向量有两种相乘的方式。点积给出一个数。叉积给出一个新的向量。

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

这里 θ 是两个向量之间的夹角。点积衡量两个向量指向同一方向的程度。垂直时它为零。

dFθ|F|·cos θ
  • 夹角：cos θ = a·b / (|a|·|b|)。
  • a 在 b 上的标量投影（a 沿 b 的部分）：a·b / |b|。
  • 恒力在位移上做的功：W = F·d。
  • 当 a·b = 0 时，两个向量垂直。

叉积 a × b 是与 a 和 b 都垂直的向量。它的长度等于这两个向量张成的平行四边形的面积。

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

对于 a = (1, 2, 0) 和 b = (3, 1, 0)：a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5)。平行四边形的面积为 5，三角形是它的一半，即 2.5。

顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M = r × F，其中 r = A − O。

自测 对于 a = (2, 1, 0) 和 b = (1, 4, 0)，a × b 的 z 分量是多少？
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

答案: 7. z 分量 = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7。−7 是 b × a（顺序颠倒了），6 是点积，9 是把两个乘积相加而不是相减。

4分步方法

  1. 把每个向量都写成分量形式。对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 如果题目给出点，就由这些点构造向量：从 A 到 B 的向量是 B − A。
  3. 判断你需要哪种工具。长度和方向：模和单位向量。夹角、投影和功：点积。面积、垂直向量和力矩：叉积。
  4. 先写公式，再一个分量一个分量地代入数值。符号放在括号里。
  5. 检验结果：单位向量的长度为 1，a × b 与 a 垂直（所以 a·(a × b) = 0），向量之间的夹角在 0° 到 180° 之间。

要求与两个向量都垂直的单位向量，取 n = a × b 并除以它的长度。如果题目要求 z 分量为正而你的为负，就把所有符号取反。

棱为 a、b、c 的长方体（平行六面体）的体积是 |a·(b × c)|：先叉积，再点积。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一个恒力 F = (6, 2, −3) N 沿直线把物体从点 A(1, 0, 2) 推到点 B(3, 4, 2)。坐标单位为米。求该力所做的功 W，以及力与位移之间的夹角 θ。

1

构造位移

位移是从 A 到 B 的向量：用终点减去起点。

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

用点积求功

功是力与位移的点积。把对应分量相乘再相加。

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

两个模

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4.472 m
4

夹角

dFθ|F|·cos θ

用点积的另一种形式 F·d = |F|·|d|·cos θ，解出 cos θ。

cos θ = 20 / (7 · 4.472) = 0.6389
θ = arccos 0.6389 ≈ 50.3°
5

检验答案

功为正，所以夹角必须小于 90°。确实如此。

力沿运动方向的部分是 |F|·cos θ = 7 · 0.6389 ≈ 4.47 N。乘以距离 4.472 m，再次得到 20 J。

答案

W = 20 J，θ ≈ 50.3°。

6常见错误

  • 把模相加，而不是把分量相加。成直角的 3 N 和 4 N 两个力给出 5 N，不是 7 N。
  • 在力矩中使用点的坐标，而不是 r = A − O。
  • 叉积中间（y）分量的符号弄错。它是 azbx − axbz，而不是反过来。
  • 在叉积中交换顺序。b × a 的方向与 a × b 相反。
  • 求方向时取 arctan，而没有检查向量在哪个象限。
  • 忘了三角形面积的 ½：它是 |AB × AC| 的一半。
自测 一个力 F = (0, 10, 0) N 作用在点 A(3, 0, 0) m。它对 O(1, 0, 0) m 的力矩大小是多少？
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

答案: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m，所以 M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m。把点 A 本身当作 r 得到 30 N·m，A + O 得到 40 N·m，只用 O 得到 10 N·m。

7考试题是什么样的

  • 简单：模和分量。向量的长度、单位向量的一个分量、由大小和角度给出的力的一个分量，或两个力的合力的大小或方向。
  • 中等：点积。一个点积、两个向量的夹角、一个标量投影、力在两点之间做的功，或使两个向量垂直的 k 的值。
  • 困难：叉积和力矩。a × b 的一个分量、平行四边形或三角形的面积、力对某点的力矩、一个单位法向量，或由混合积求出的长方体体积。

对于垂直性的问题，令 a·b = 0。这给出一个关于 k 的线性方程。

对于顶点为 A、B、C 的三角形，使用边向量 AB = B − A 和 AC = C − A。面积为 ½·|AB × AC|。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
xy135°F1​F2​

两个力作用在 xy 平面内的同一点：F₁ = 110 N，角度 0°；F₂ = 190 N，角度 135°，角度均从正 x 轴起逆时针量取。 求它们合力的方向 φ，从正 x 轴起逆时针量取（在 0° 到 360° 之间）。

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

求： φ (°)

显示提示
  1. 把每个力分解为 x 分量和 y 分量。
  2. 把 x 分量和 y 分量分别相加。
  3. Rₓ = −24.35 N, Ry = 134.4 N.
显示答案和分步解答

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

合力的分量

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24.35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134.4 N

方向

Rₓ 为负，所以合力指向第二或第三象限：要在计算器给出的角度上加 180°。

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134.4/−24.35) = −79.73°
φ = 100.3°

答案

φ = 100.3°
例题 2中等
xyzab

求使向量 a = (−4, −4, 0) 与 b = (k, 6, 4) 垂直的 k 的值。

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

求： k

显示提示
  1. 垂直的向量点积为零。
  2. 写出 a·b = 0，把 k 当作未知数，解这个线性方程。
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
显示答案和分步解答

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

解出 k

k = −(−24)/(−4) = −6

答案

k = −6
例题 3困难
xyzABC

求顶点为 A(−3, −4, −1)、B(−4, 3, −3)、C(1, 4, −4) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

求： A (m²)

显示提示
  1. 从同一个顶点出发构造两个边向量：AB = B − A，AC = C − A。
  2. 面积为 ½·|AB × AC|。
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
显示答案和分步解答

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

叉积

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37.97

三角形的面积

A = ½·37.97 = 18.99 m²

答案

A = 18.99 m²

问与答

什么是向量：点积和叉积？

有些量只需要一个数：5 kg 的质量或 20 °C 的温度。这些是标量。

另一些量还需要方向。向上推的 40 N 的力与向侧面推的 40 N 的力大不相同。这些是向量。

向量：点积和叉积题目如何一步步求解？
  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。
向量：点积和叉积有哪些常见错误？
  • 把模相加，而不是把分量相加。
  • 叉积中间（y）分量的符号弄错。
  • 在力矩中使用点的位置，而不是 r = A − O。
  • 取 arctan 时没有检查象限。
向量：点积和叉积练习包括哪些内容？
  • 简单: 模与分量
  • 中等: 点积
  • 困难: 叉积与力矩

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

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