微分方程：练习题及分步解答

免费的微分方程练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：指数增长与衰减, 牛顿冷却定律, 一阶线性方程。

免费练习题简单
ty1

一个质量–弹簧–阻尼系统由 y″ + 4.8y′ + 4y = 0 描述。将它与 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 比较，求阻尼比 ζ。

y″ + 4.8y′ + 4y = 0
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练习内容

  1. 简单指数增长与衰减
  2. 中等牛顿冷却定律
  3. 困难一阶线性方程

关键公式

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

从零开始学习微分方程

学习本课之前： 导数, 积分

1什么是微分方程

微分方程把一个量与它自己的变化率联系起来。它描述某物如何变化，而不是它是什么。

细菌会分裂，所以更大的菌落增长更快。增长率与细胞数 N 成正比：

dN/dt = k · N

这里 dN/dt 是 N 对时间 t 的导数，k 是速率常数。当 k = 0.4 h⁻¹ 且 N = 1000 个细胞时，菌落在那一刻每小时增加 400 个细胞。

解这个方程意味着求出函数 N(t) 本身。你还需要一个起始值，例如 N(0) = 200。这称为初始条件。

自测 某个种群遵循 dN/dt = 0.2 · N。此刻 N = 500。它增长得多快？
  1. 每小时 0.2
  2. 每小时 100
  3. 每小时 2500
  4. 每小时 500

答案: 每小时 100. 把数代入方程：dN/dt = 0.2 · 500 = 100。用 500 除以 0.2 得到 2500，那是把 k 用反了。

2指数增长和衰减

方程 dy/dt = k·y 总是有同样的解，一个指数函数：

y(t) = y0 · ekt

这里 y0 是 t = 0 时的值。正的 k 表示增长。对于衰减，方程是 dy/dt = −k·y，解为 y = y0e−kt。

放射性衰变常用半衰期 t½ 给出：经过这段时间后，物质剩下一半。速率常数由它得出：

k = ln 2 / t½

要求时间，对两边取自然对数：

t = ln(y / y0) / k

例如，200 个细胞以 k = 0.4 h⁻¹ 增长，在 t = ln(5)/0.4 ≈ 4.02 h 后达到 1000 个细胞。

自测 某物质的半衰期为 10 天。你从 80 mg 开始。20 天后还剩多少？
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

答案: 20 mg. 20 天是两个半衰期：80 → 40 → 20 mg。0 mg 是因为以为两个一半就是全部；每次数量只减半。

3冷却和线性方程

牛顿冷却定律：一个热的物体在比室温高得多时冷却得更快。设室温为 Ta：

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

差值 T − Ta 按指数衰减，所以温度趋向室温，永远不会低于它。

要由一次测量求 k，代入已知值并取 ln：k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1。

一阶线性方程的形式为 y′ + p(x)·y = q(x)。把它乘以积分因子 μ：

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

然后两边积分，再除以 μ。对于 p = 2/x，μ = e2 ln x = x²。

自测 90 °C 的茶放在 20 °C 的房间里。经过很长时间后，它趋近于哪个温度？
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

答案: 20 °C. 项 (T0 − Ta)e−kt 趋于 0，所以 T 趋近 Ta = 20 °C。如果忘了室温，答案会是 0 °C。

4分步方法

  1. 识别类型：dy/dt = ky（增长或衰减）、牛顿冷却，还是 y′ + p(x)y = q(x)。
  2. 写出该类型的标准解。
  3. 用给定的数据求常数：y0 由初始值求，k 由半衰期或第二次测量求。
  4. 回答问题：代入时间求值，或用 ln 求时间。
  5. 对照 t 的单位检查 k 的单位（h⁻¹、min⁻¹）。

对于线性方程：求 μ，对 (μy)′ = μq 积分，加上常数 C，然后用初始条件求 C。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一种放射性示踪剂的半衰期为 8 天。一个样品开始时含有 60 mg。衰变遵循 dm/dt = −k·m。12 天后剩下多少 m？

1

识别类型

这是指数衰减，所以解为：

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

由半衰期求 k

k = ln 2 / 8 = 0.6931 / 8 = 0.08664 天⁻¹
3

代入时间

k · t = 0.08664 · 12 = 1.0397
m = 60 · e−1.0397 = 60 · 0.3536 = 21.21 mg
4

检验答案

12 天是 1.5 个半衰期。8 天后剩下 30 mg，16 天后剩下 15 mg，所以 21.2 mg 在它们之间，符合预期。

60 · 0.51.5 = 21.21 mg
tm608301615247.51221.2
答案

12 天后剩余 m ≈ 21.2 mg。

6常见错误

  • 在牛顿冷却定律中，忘了减去并加回室温 Ta。
  • 对衰减使用正的指数，使数量增长而不是缩小。
  • 使用 log10 而不是自然对数 ln。
  • 混用时间单位，例如 k 以 min⁻¹ 为单位而 t 以小时为单位。
  • 使用积分因子时，只把左边乘以 μ。
自测 一个 80 °C 的零件在 20 °C 的房间里冷却。在某个时刻 t，e−kt = 0.5。那时它的温度是多少？
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

答案: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0.5 = 20 + 30 = 50 °C。直接把 80 减半得 40 °C，那是忘了室温。

7考试题是什么样的

  • 简单：指数增长和衰减。求一段时间后的量，或达到某个量所需的时间，常常由半衰期给出。
  • 中等：牛顿冷却定律。用一次测量求 k，然后求温度或时间。
  • 困难：一阶线性方程，例如 y′ + 2y/x = 3，y(1) = 1。用积分因子并求另一个 x 处的 y。

快速检查：衰减和冷却的答案必须位于起始值和最终值（0，或室温）之间。

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例题详解

例题 1简单
rr² + br + c?

对方程 y″ + 4y′ + 3y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 4y′ + 3y = 0

求： r

显示提示
  1. 代入 y = ert。
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. 因式分解或用求根公式。
显示答案和分步解答

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征方程

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

根

r = −1, r = −3
最接近零: r = −1

答案

r = −1

通解为 y = A·e−1t + B·e−3t。

例题 2中等
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

一杯 81 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。 5 min 后其温度为 73 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 50 °C？

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

求： t (min)

显示提示
  1. 先由 t = 5 min 时的测量值求 k。
  2. k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
显示答案和分步解答

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(60/29)/0.02862 = 25.4 min

答案

t = 25.4 min
例题 3困难
ty1y(1) = ?

求解 y′ + y = 4e−2t，y(0) = 4。求 y(1)。

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

求： y(1)

显示提示
  1. 积分因子为 μ = et。
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. 用 y(0) 求 C。
显示答案和分步解答

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = et
(ety)′ = 4e−t

通解

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

初始条件

4 = −4 + C → C = 8

求值

y(1) = −4·0.1353 + 8·0.3679 = 2.402

答案

y(1) = 2.402

问与答

什么是微分方程？

细菌会分裂，所以更大的菌落增长更快。增长率与细胞数 N 成正比：

这里 dN/dt 是 N 对时间 t 的导数，k 是速率常数。当 k = 0.4 h⁻¹ 且 N = 1000 个细胞时，菌落在那一刻每小时增加 400 个细胞。

微分方程题目如何一步步求解？

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

微分方程有哪些常见错误？
  • 这是另一个根，离零更远；它对应的项衰减得更快。
  • b 和 c 为正的 r² + br + c = 0 有负根。
  • −b/2 是两根的中点，不是根。
微分方程练习包括哪些内容？
  • 简单: 指数增长与衰减
  • 中等: 牛顿冷却定律
  • 困难: 一阶线性方程

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

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