数值方法：练习题和考试题

计算没有公式的答案：用二分法和牛顿–拉弗森法求方程的根、在表中插值、用梯形法则和辛普森法则做数值积分，以及用欧拉法、休恩法和龙格–库塔法求解微分方程。考试要求在表格中做几次迭代，并给出误差的大小。

免费练习本课程练习本课程参加模拟考试每天 5 道免费题目，无需绑定银行卡。

速成包（PDF）公式表、方法步骤和附完整解答的练习题，可直接打印。

本课程的主题

数值方法考试技巧

每个迭代值至少保留六位有效数字，只对最终答案四舍五入。
在把任何数相加之前，先在函数值表下写出积分法则的权重。
用泰勒多项式解释误差：欧拉法的误差与 h 成正比，辛普森法则的误差与 h⁴ 成正比。

例题详解

数值方法简单

二分法从长度为 4 的区间开始。每一步使区间减半。区间短于 0.0001 之前，至少需要多少步 n？

b − a = 4ε = 0.0001

求： n

显示提示

n 步之后区间长度为 (b − a)/2ⁿ。
解 4/2ⁿ < 0.0001，即 2ⁿ > 40000。
n > log₂(40000) = 15.29

显示答案和分步解答

求根与插值：二分法保留一个函数 f 变号的区间 [a, b]；每一步取中点 c = (a + b)/2，并保留仍然变号的那一半，所以 n 步之后区间宽度为 (b − a)/2ⁿ。牛顿–拉弗森法沿切线走到坐标轴：x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n)；在单根附近，每一步大约使正确数字的位数加倍。两个表格点之间的线性插值：y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)。

条件

4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000

对数

n > ln(40000)/ln 2 = 15.29

n = 16

校核

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

答案

n = 16

数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3))。

a_k = 12/(k(k + 3))

求： S

显示提示

部分分式：1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))。
写出前几项：大部分会相互抵消（裂项求和）。
剩下的是 (12/3)·(1 + … + 1/3)。

显示答案和分步解答

部分分式

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

取消

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

答案

S = 7.333

练习方式

“练习本课程”会混合出该课程所有主题的题目，就像真正的考试一样。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
模拟考试限时且没有提示，结束后你会得到分数和完整的回顾。

本课程的计算器

矩阵行列式与逆矩阵计算器特征值和特征向量计算器半衰期与指数衰减计算器线性方程组求解器（2×2 和 3×3）