特征值和特征向量计算器
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结果
λ15
λ23
λ32
特征多项式λ³ − 10λ² + 31λ − 30
迹10
行列式30
| 特征值 | 重数 | 特征向量 | 单位特征向量 |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0.8944, 0, 0.4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0.5774, 0.5774, −0.5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0.7071, 0, −0.7071) |
求 2×2 或 3×3 矩阵的特征值和特征向量。计算器把 det(A − λI) 展开为特征多项式，解出实特征值或复特征值及其重数，并通过解 (A − λI)v = 0 求出每个实特征值的特征向量。每个特征向量都通过计算 A·v 来检验，对重复的特征值，还会说明该矩阵能否对角化。
分步解答
特征方程 det(A − λI) = 0
det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, 主 2×2 子式之和 = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0
特征值
(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
校核: Σλ = 10 = tr A
特征向量 (λ = 5)
A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓
特征向量 (λ = 3)
A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓
特征向量 (λ = 2)
A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓
关键公式
- 特征值
- det(A − λI) = 0
如何求特征值和特征向量
- 把 A 的每个对角元素减去 λ，得到 A − λI。
- 令行列式为零：det(A − λI) = 0。对 2×2 矩阵，这是 λ² − (tr A)λ + det A = 0；对 3×3 矩阵，这是一个三次方程。
- 解特征方程。检验：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式。
- 对每个特征值，用行化简解 (A − λI)v = 0。解构成一条直线（或一个平面）；其中任何非零向量都是特征向量。
- 检验每个特征向量：A·v 必须等于 λ·v。
问与答
如何输入矩阵？
各行用分号分隔，每行中的数用空格分隔，例如 3×3 矩阵输入 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3。可以使用小数和负数。
为什么矩阵会有复特征值？
特征多项式可以有复根，对实矩阵来说它们总是成共轭对出现。旋转矩阵 0 -1; 1 0 的特征值是 ±i，因为没有任何实向量在旋转下保持方向不变。
重复的特征值是什么意思？
即特征多项式的一个重数为 2 或 3 的根。该矩阵仍可能有同样多的线性无关特征向量（如单位矩阵），也可能更少。更少时它是亏损矩阵，不能对角化。
特征向量是唯一的吗？
不是。特征向量的任何非零倍数也是特征向量。计算器给出简单形式（尽可能用整数）以及长度为 1 的单位向量。
特征值有什么用途？
它们给出振动系统的固有频率、应力张量的主应力、微分方程组的稳定性，以及主成分分析中的主方向。
自己练一练
练习矩阵与行列式
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。