工程数学 2：练习题和考试题

工程师的第二门数学课：二阶微分方程、矩阵与向量、含旋转体体积的积分技巧、偏导数与二重积分、级数与泰勒多项式、拉普拉斯变换与卷积。这些是电路、振动和控制类课程所依赖的工具。

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速成包（PDF）公式表、方法步骤和附完整解答的练习题，可直接打印。

本课程的主题

工程数学 2 考试技巧

对线性常微分方程，先写出特征方程：它的根决定解的形式。
分部积分时，把求导后会变得更简单的那个因式选作 u。
用拉普拉斯变换表和部分分式，而不要手算变换的积分。

例题详解

微分方程简单

对方程 y″ + 4y′ + 3y = 0，求特征方程中最接近零的根 r。它决定解衰减得有多慢。

y″ + 4y′ + 3y = 0

求： r

显示提示

代入 y = e^rt。
r² + 4r + 3 = 0.
因式分解或用求根公式。

显示答案和分步解答

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征方程

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

根

r = −1, r = −3

最接近零: r = −1

答案

r = −1

通解为 y = A·e^−1t + B·e^−3t。

矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

求： det A

显示提示

按第一行展开，符号为 + − +。
每一项是一个元素乘以划去其行和列后剩下的 2×2 行列式。
余子式: 0, −30, −10.

显示答案和分步解答

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

代数余子式展开

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

答案

det A = 120

练习方式

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本课程的计算器

拉普拉斯逆变换计算器（部分分式）拉普拉斯变换计算器矩阵行列式与逆矩阵计算器特征值和特征向量计算器半衰期与指数衰减计算器线性方程组求解器（2×2 和 3×3）积分计算器（定积分与不定积分）