卷积与线性时不变系统：练习题及分步解答

免费的卷积与线性时不变系统练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：离散卷积, 连续卷积, 冲激响应与傅里叶级数。

免费练习题简单
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

序列 x[n] = {−3, 2, 4, 3} 和 h[n] = {1, 1, 1} 都从 n = 0 开始。求卷积 y[n] = x[n] ∗ h[n] 的样本 y[1]。

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
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练习内容

  1. 简单离散卷积
  2. 中等连续卷积
  3. 困难冲激响应与傅里叶级数

如何求解卷积与线性时不变系统问题

  1. 画出两个信号，标明各自在哪里非零。
  2. 把 h 翻转并滑动：对每个输出时刻，找出两个信号的重叠范围。
  3. 只在该重叠范围内相乘并求和（离散），或相乘并积分（连续）。
  4. 检验结果：输出从起始时间之和开始，到结束时间之和结束，其面积或和等于输入面积或和的乘积。

常见错误

  • 把两个信号逐点相乘，而不是做卷积。
  • 平移 h 却不翻转，这样得到的是相关。
  • 题目问冲激响应时用了阶跃响应的公式，或者反过来。
  • 把谐波次数数错：频率为 k/T 的分量是第 k 次谐波。

关键公式

离散卷积
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
连续卷积
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
长度与和
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
起点、终点与面积
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
阶跃输入到 e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
一阶系统
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
一阶递推
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
正弦信号通过 h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
傅里叶级数的幅值
方波 ±A：4A/(kπ)，k 为奇数；三角波 ±A：8A/(π²k²)，k 为奇数；脉冲串：A·D 和 (2A/(kπ))|sin kπD|

从零开始学习卷积与线性时不变系统

学习本课之前： 积分

1卷积做什么

线性时不变（LTI）系统完全由它的冲激响应 h 描述：即输入为一个短暂的冲击时它给出的输出。

任何输入都可以看作一排按比例缩放、移位的冲击。每个冲击产生一个缩放、移位后的 h 的副本，输出就是所有副本之和。这个和就是卷积 y = x ∗ h。

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

凡是系统有记忆的地方都会出现卷积：滤波器、传感器、结构、电路，以及信号在时间上的扩散。

自测 某系统的 h[n] = {1, 3}（n = 0, 1）。输入是单个样本 x[0] = 2。输出是什么？
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

答案: y[n] = {2, 6}. 一个高度为 2 的冲击给出一个乘以 2 的 h 的副本：{2·1, 2·3} = {2, 6}。卷积保持 h 的形状；它不会把样本加在一起。

2离散卷积的逐步方法

对序列而言，卷积是一个求和：

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. 翻转 h：h[−k] 是 h 关于 k = 0 的镜像。
  2. 把翻转后的 h 平移 n。
  3. 与 x 逐点相乘并把乘积相加。得到 y[n]。
  4. 对每个 n 重复。如果 x 有 Lx 个样本，h 有 Lh 个，则 y 有 Lx + Lh − 1 个样本，起始于两个起始下标之和。

快速检验：y 的所有样本之和等于 (Σx)·(Σh)。

自测 对于 x[n] = {1, 2} 和 h[n] = {3, 1}，两者都从 n = 0 开始，y[1] 是多少？
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

答案: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7。只算 x[1]·h[1] 得到 2，而 6 只保留了两个乘积中的一个。

3例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

对 x[n] = {2, 1, −1} 与 h[n] = {1, 3} 做卷积，两者都从 n = 0 开始。

1

观察这两个序列

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x 有 3 个样本，h 有 2 个，所以 y 有 3 + 2 − 1 = 4 个样本，从 n = 0 到 n = 3。

2

y[0]

只有 x[0] 和 h[0] 重叠。

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] 和 y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

检验答案

Σx = 2，Σh = 4，所以 Σy 必须是 8。确实 2 + 7 + 2 − 3 = 8。

答案

n = 0 … 3 时，y[n] = {2, 7, 2, −3}。

4连续卷积

对连续时间信号，求和变成积分：

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

方法相同：翻转 h，把它滑动到位置 t，在两个信号都非零的部分上对乘积积分。

x(t)t12h(t)t1

当 x(t) = 2（0 ≤ t < 1 s）、h(t) = e−tu(t) 时，脉冲持续期间的输出为 y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t)。在 t = 1 s 时达到 2(1 − e−1) = 1.26，之后按 1.26·e−(t − 1) 衰减。

  • y 从两个起始时间之和开始，到两个结束时间之和结束。
  • y 下的面积等于 x 下的面积乘以 h 下的面积。
  • 两个矩形脉冲给出梯形；两个相同的则给出三角形。
自测 x(t) 在 0 到 2 s 之间非零，h(t) 在 1 s 到 4 s 之间非零。y(t) = x(t) ∗ h(t) 何时结束？
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

答案: 6 s. y 结束于结束时间之和：2 + 4 = 6 s。它开始于 0 + 1 = 1 s，所以持续 5 s；5 s 是持续时间，而不是结束时刻。

5冲激响应与傅里叶级数

一阶系统 y′ + a·y = b·x 的冲激响应为 h(t) = b·e−atu(t)。它的离散对应系统 y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] 的 h[n] = b·aⁿ（n ≥ 0）。

正弦信号通过线性时不变系统时频率不变。它的幅值乘以 |H(jω)|，相位移动 ∠H(jω)，其中 H 是 h 的傅里叶变换。对 h(t) = b·e−atu(t)，H(jω) = b/(a + jω)。

周期为 T 的周期信号是频率为 k/T 的各次谐波之和。一些标准的幅值：

  • −A 到 +A 之间的方波：只有奇数 k，幅值为 4A/(kπ)。
  • −A 到 +A 之间的三角波：只有奇数 k，幅值为 8A/(π²k²)。
  • 高度为 A、占空比为 D 的脉冲串：平均值 A·D，谐波 (2A/(kπ))·|sin(kπD)|。
自测 某方波在 −2 和 +2 之间切换。它的三次谐波幅值是多少？
  1. 0.283
  2. 0.424
  3. 0.849
  4. 2.546

答案: 0.849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0.849。2.546 是基波，0.283 像三角波那样除以了 k²，0.424 用的是 2A/(kπ)，即从 0 到 A 的波的公式。

6常见错误

  • 把两个信号逐点相乘，而不是做卷积。
  • 滑动 h 却不翻转；那样得到的是相关，而不是卷积。
  • 混淆冲激响应和阶跃响应：阶跃响应是 h 的累加和或积分。
  • 把谐波次数数错：频率为 k/T 的分量是第 k 次谐波。
自测 x[n] = {1, 2}，h[n] = {1, 1}，都从 n = 0 开始。y[1] 是多少？
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

答案: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3。逐点乘积 x[1]·h[1] 只给出 2。

7考试题是什么样的

  • 简单：离散卷积。你要求某一个输出样本、最大样本、所有样本之和、y 的第一个或最后一个下标、FIR 滤波器的输出，或阶跃响应。
  • 中等：连续卷积。你要求两个脉冲、一个指数与阶跃或脉冲、或两个指数在给定时刻的 y(t)，以及 y 的面积、起点、终点或持续时间。
  • 困难：冲激响应与傅里叶级数。你要求一阶微分方程的 h(t)、递推式的 h[n] 或阶跃响应、正弦信号的增益或相位，或方波、三角波或脉冲波的某次谐波。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

序列 x[n] = {4, −3, −2} 和 h[n] = {3, 1} 都从 n = 0 开始。求卷积 y[n] = x[n] ∗ h[n] 的样本 y[1]。

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

求： y[1]

显示提示
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k]。
  2. 对于 n = 1，各项为 k = 0, 1。
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
显示答案和分步解答

离散卷积：线性时不变系统的输出为 y[n] = Σk x[k]·h[n − k]：把 h 翻转，平移 n，与 x 逐点相乘再相加。若 x 有 Lx 个样本，起始于 nx，h 有 Lh 个样本，起始于 nh，则 y 有 Lx + Lh − 1 个样本，起始于 nx + nh。y 的所有样本之和等于 (Σx)·(Σh)。FIR 滤波器 y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … 就是与 h[n] = bn 的卷积。

求和的各项

只有使 x[k] 和 h[n − k] 同时存在的 k 才有贡献。

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

相加

y[1] = −5

答案

y[1] = −5
例题 2中等
x(t)t11h(t)t1

脉冲 x(t) = 1（0 ≤ t < 1 s，其他时刻为零）加到 h(t) = e−2tu(t) 的系统上。求脉冲结束之后 t = 2.5 s 时的输出 y(2.5)。

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2.5 s

求： y(2.5)

显示提示
  1. 把脉冲写成 t = 0 处的阶跃减去 t = 1 s 处的阶跃。
  2. 阶跃响应为 (A/a)(1 − e−at)。
  3. 脉冲结束后：y(t) = y(1)·e−a(t − 1)。
显示答案和分步解答

连续卷积：y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ。把 h 翻转，平移到位置 t，对重叠部分的乘积积分。对因果信号，积分从 0 到 t。有用的结论：y 的面积等于 x 的面积乘以 h 的面积；若 x 持续时间从 t₁ 到 t₂，h 从 t₃ 到 t₄，则 y 持续时间从 t₁ + t₃ 到 t₂ + t₄。对于 h(t) = e−atu(t) 和高度为 A 的阶跃，y(t) = (A/a)(1 − e−at)。

脉冲结束时的输出

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0.4323

脉冲结束后的衰减

y(2.5) = 0.4323·e−2·1.5 = 0.02152

答案

y(2.5) = 0.02152
例题 3困难
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

某系统满足 y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t)。求它在 t = 0.05 s 时的冲激响应 h(0.05)。

y′ + 5y = 3xt = 0.05 s

求： h(0.05)

显示提示
  1. 在零初始条件下取拉普拉斯变换：(s + 5)Y(s) = 3X(s)。
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
显示答案和分步解答

冲激响应与傅里叶级数：冲激响应 h(t) 完全描述一个线性时不变系统：对于 y′ + a·y = b·x，h(t) = b·e−atu(t)；对于 y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n]，h[n] = b·aⁿu[n]。正弦信号 cos ωt 通过系统时，增益为 |H(jω)|，相位为 ∠H(jω)，其中 H 是 h 的傅里叶变换。周期信号是频率为 k/T 的各次谐波之和：幅值 ±A 的方波只含奇次谐波，幅值为 4A/(kπ)；峰值为 A 的三角波的谐波幅值为 8A/(π²k²)；高度为 A、占空比为 D 的脉冲串，其平均值为 A·D，谐波为 (2A/(kπ))·|sin(kπD)|。

传递函数

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

冲激响应

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0.05) = 3·e−0.25 = 2.336

答案

h(0.05) = 2.336

问与答

什么是卷积与线性时不变系统？

任何输入都可以看作一排按比例缩放、移位的冲击。每个冲击产生一个缩放、移位后的 h 的副本，输出就是所有副本之和。这个和就是卷积 y = x ∗ h。

凡是系统有记忆的地方都会出现卷积：滤波器、传感器、结构、电路，以及信号在时间上的扩散。

卷积与线性时不变系统题目如何一步步求解？
  1. 画出两个信号，标明各自在哪里非零。
  2. 把 h 翻转并滑动：对每个输出时刻，找出两个信号的重叠范围。
  3. 只在该重叠范围内相乘并求和（离散），或相乘并积分（连续）。
  4. 检验结果：输出从起始时间之和开始，到结束时间之和结束，其面积或和等于输入面积或和的乘积。
卷积与线性时不变系统有哪些常见错误？
  • 把两个信号逐点相乘，而不是做卷积。
  • 平移 h 却不翻转，这样得到的是相关。
  • 题目问冲激响应时用了阶跃响应的公式，或者反过来。
  • 把谐波次数数错：频率为 k/T 的分量是第 k 次谐波。
卷积与线性时不变系统练习包括哪些内容？
  • 简单: 离散卷积
  • 中等: 连续卷积
  • 困难: 冲激响应与傅里叶级数

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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