网孔分析：练习题及分步解答

免费的网孔分析练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：2 个网孔，1 个电源, 2 个网孔，2 个电源, 3 个网孔。

免费练习题简单
R1​ = 3 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​6 VR3​3 ΩAR4​6 ΩBI1​I2​

用网孔分析法求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
A
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练习内容

  1. 简单2 个网孔，1 个电源
  2. 中等2 个网孔，2 个电源
  3. 困难3 个网孔

如何求解网孔分析问题

  1. 在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
  2. 对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
  3. 两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
  4. 解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

常见错误

  • 在共用电阻中使用整个网孔电流。
  • 绕回路时把电源的符号弄错。
  • 忘记外侧支路中的电流源直接确定该网孔电流。

关键公式

基尔霍夫电压定律
沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻
电流 = I1 − I2
网孔中的电流源
直接确定该网孔电流

从零开始学习网孔分析

学习本课之前： 串并联电阻

1什么是网孔分析

网孔分析是求电路中电流的标准方法。它是节点分析的搭档：节点分析以电压为未知数，网孔分析以电流为未知数。

看一张平面的电路图。由导线和元件围成的空“窗口”称为网孔。

你设想每个窗口里有一个电流绕行。这些就是网孔电流。每个实际的支路电流都由它们构成。

想象一排并排的齿轮。每个齿轮各自转动，在两个齿轮接触的地方，你看到的是它们运动的差。

自测 一张平面电路图有三个窗口。你需要多少个网孔电流？
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6

答案: 3. 每个窗口一个网孔电流，所以是三个。然后每个网孔写一个方程，一共三个方程。

2基尔霍夫电压定律

沿任意闭合回路走一圈再回到起点。你最后的电压与开始时相同。

所以你在电源中获得的电压等于你在电阻中失去的电压。这就是基尔霍夫电压定律（KVL）。

Σ 电压升 = Σ 电压降
+−I​12 V8 V?+−

当你从 − 到 + 穿过电源时，它是升。当你沿着电流方向穿过电阻时，它是 I·R 的降。

在这个回路中电源提供 12 V。一个电阻占去 8 V，所以另一个必须占去其余的 4 V。

自测 一个 10 V 的电源驱动一个带有两个电阻的回路。第一个电阻两端的电压为 7 V。第二个电阻两端的电压是多少？
  1. 10 V
  2. 17 V
  3. 3 V
  4. 7 V

答案: 3 V. 各电压降之和必须等于 10 V 的升：10 − 7 = 3 V。把电压相加（17 V）违反了 KVL。

3共用电阻中的网孔电流

把每个网孔电流都画成顺时针，用同样的命名方式：I1，I2，……

+−V1​10 VR1​ = 2 ΩR2​ = 4 ΩR3​6 ΩR4​2 ΩI1​I2​

电路外侧的电阻只属于一个网孔。它承载该网孔的电流。

两个窗口之间的电阻是共用的。两个网孔电流以相反的方向通过它。它的实际电流是它们的差。

IR3（向下）= I1 − I2

在网孔 1 中，I1 向下流过 R3，所以写成 I1 − I2。在网孔 2 中，I2 向上流过 R3，所以写成 I2 − I1。

自测 在上面的电路中，I1 = 3 A，I2 = 1 A。向下流过 R3 的电流是多少？
  1. 1 A
  2. 2 A
  3. 3 A
  4. 4 A

答案: 2 A. 共用电阻承载的是差：3 − 1 = 2 A 向下。把网孔电流相加（4 A）是最常见的失误。

4分步方法

  1. 数窗口的个数。在每个窗口中画一个顺时针的网孔电流：I1，I2，……
  2. 沿网孔 1 顺时针绕一圈。把各电压降相加：每个电阻，R 乘以流过它的电流（它自己的网孔电流，或共用电阻中的差）。
  3. 令电压降等于该网孔中的电源升。当你从 − 到 + 经过电源时，它算作 +，反方向则算作 −。
  4. 对每个网孔重复。每个网孔得到一个方程。
  5. 解这些方程，求出网孔电流。
  6. 求出你需要的支路电流或电压。负的网孔电流表示逆时针流动。

总是沿着与网孔电流相同的方向绕行。这样每个电阻项都以加号开头。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

求网孔电流，以及沿箭头方向流过 R3 的电流 IR3。

1

设定网孔电流

+−V1​10 VR1​ = 2 ΩR2​ = 4 ΩR3​6 ΩR4​2 ΩI1​I2​IR3​

有两个窗口，所以有两个顺时针的网孔电流 I1 和 I2。R3 由它们共用。

2

绕网孔 1 的 KVL

顺时针走，你从 − 到 + 穿过 V1：升 10 V。R1 承载 I1，R3 承载 I1 − I2。

2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3

绕网孔 2 的 KVL

网孔 2 没有电源，所以它的电压降之和为 0。R2 和 R4 承载 I2，R3 承载 I2 − I1。

4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4

解方程

把 I1 = 2·I2 代入第一个方程。

8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5

R₃ 中的电流

箭头向下，与 R3 中 I1 的方向相同。

IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6

检验答案

网孔 1：R1 占去 2·2 = 4 V，R3 占去 6·1 = 6 V。合计 10 V，等于 V1。

网孔 2：R2 和 R4 承载 1 A，占去 4 + 2 = 6 V。这等于 R3 两端的 6 V，必然如此，因为它们接在相同的两个节点之间。

答案

I1 = 2 A，I2 = 1 A，IR3 = 1 A 向下。

6常见错误

  • 在共用电阻中使用完整的网孔电流。共用电阻承载的是两个网孔电流的差。
  • 弄错电源的符号。沿行进方向从 + 到 − 穿过电源，算作负的升。
  • 有的网孔逆时针绕。要让每个网孔电流和每次绕行都保持顺时针。
  • 忘了允许出现负的结果。它只是表示电流沿逆时针流动。
自测 顺时针绕网孔 2 时，你从一个 6 V 电源的 + 极一侧穿到 − 极一侧。网孔 2 包含 R2 = 2 Ω 和共用的 R3 = 4 Ω。哪个方程是对的？
  1. 2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
  2. 2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
  3. 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
  4. 2·I2 + 4·I2 = −6

答案: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. 从 + 到 − 穿过电源是降，所以在升的一侧算作 −6 V。在网孔 2 中，共用电阻承载的是 I2 − I1，不是只有 I2，也不是 I1 − I2。

7考试题是什么样的

  • 简单：两个网孔和一个电压源，如例题所示。网孔 2 没有电源，所以它的方程等于 0。
  • 中等：两个网孔和两个电压源，每边一个。注意网孔 2 中右边电源的符号。
  • 困难：三个网孔，有两个共用电阻。中间的网孔与每个相邻网孔共用一个电阻。

题目问的是一个网孔电流、沿箭头方向通过某个电阻的电流，或按图示极性的某个电阻两端的电压。

对于电压，先求通过该电阻的电流，再用 V = I·R。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩIR2​+−V1​10 VR3​3 ΩAR4​8 ΩBI1​I2​

用网孔分析法求 沿箭头方向流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω

求： IR2 (A)

显示提示
  1. 共有 2 个窗口，因此设 2 个顺时针网孔电流（I1, I2），并为每个网孔列一个 KVL 方程。
  2. 在网孔 1 中，每个电阻流过 I1，共用电阻除外，它流过 I1 − I2。
  3. 解得 I1 = 0.95 A。
显示答案和分步解答

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

R1​ = 8 ΩR2​ = 8 Ω+−V1​10 VR3​3 ΩAR4​8 ΩBI1​I2​

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I1, I2。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0

求解

Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0.95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0.15 A

答案

IR2 = I2 = 0.15 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

例题 2中等
R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

用网孔分析法求 网孔电流 I1（顺时针）。

V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω

求： I1 (A)

显示提示
  1. 共有 2 个窗口，因此设 2 个顺时针网孔电流（I1, I2），并为每个网孔列一个 KVL 方程。
  2. 在网孔 1 中，每个电阻流过 I1，共用电阻除外，它流过 I1 − I2。
  3. 解得 I1 = −0.3387 A。
显示答案和分步解答

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I1, I2。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24

求解

Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0.3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1.871 A

答案

I1 = −0.3387 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

例题 3困难
R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩIR4​AR5​8 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

用网孔分析法求 沿箭头方向流过 R4 的电流 IR4。

V1 = 36 VV2 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 30 ΩR5 = 8 Ω

求： IR4 (A)

显示提示
  1. 共有 3 个窗口，因此设 3 个顺时针网孔电流（I1, I2, I3），并为每个网孔列一个 KVL 方程。
  2. 在网孔 1 中，每个电阻流过 I1，共用电阻除外，它流过 I1 − I2。
  3. 解得 I1 = 1.135 A。
显示答案和分步解答

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩAR5​8 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I1, I2, I3。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1.135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0.5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0.6097 A

答案

IR4 = I1 − I2 = 0.6323 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

问与答

什么是网孔分析？

网孔分析是求电路中电流的标准方法。它是节点分析的搭档：节点分析以电压为未知数，网孔分析以电流为未知数。

看一张平面的电路图。由导线和元件围成的空“窗口”称为网孔。

网孔分析题目如何一步步求解？
  1. 在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
  2. 对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
  3. 两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
  4. 解方程；结果为负表示电流实际方向相反。
网孔分析有哪些常见错误？
  • 在共用电阻中使用整个网孔电流。
  • 绕回路时把电源的符号弄错。
  • 忘记外侧支路中的电流源直接确定该网孔电流。
网孔分析练习包括哪些内容？
  • 简单: 2 个网孔，1 个电源
  • 中等: 2 个网孔，2 个电源
  • 困难: 3 个网孔

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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