叠加定理：练习题及分步解答

免费的叠加定理练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：2 个电压源, 电压源 + 电流源, 3 个电源。

免费练习题简单
R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

用叠加定理求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
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练习内容

  1. 简单2 个电压源
  2. 中等电压源 + 电流源
  3. 困难3 个电源

如何求解叠加定理问题

  1. 数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
  2. 保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
  3. 在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
  4. 对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

常见错误

  • 把电压源直接移除，而不是用导线代替。
  • 不检查方向就把各分量相加。
  • 用叠加定理计算功率：功率不是线性的，所以要先求总电流，再求功率。

关键公式

叠加定理
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
置零的电压源
短路 (0 V)
置零的电流源
开路 (0 A)
分压公式
V2 = V·R2/(R1 + R2)
分流公式
I1 = I·R2/(R1 + R2)

从零开始学习叠加定理

学习本课之前： 串并联电阻

1什么是叠加定理

许多电路有不止一个电源：两节电池，或者一节电池和一个电流源。

一次性同时求解它们可能很难。叠加定理让你把问题拆成更简单的几部分。

基本思想：每个电源都在电路中推动它自己的电流。电阻中的实际电流等于各电源单独作用时产生的电流之和。

想象两个水龙头往同一个浴缸里放水。水位的上升等于第一个水龙头加的水加上第二个水龙头加的水。

自测 叠加定理让你做什么？
  1. 把各电源的作用相乘
  2. 把所有电阻换成一个电阻
  3. 每个电源求解一次电路，再把结果相加
  4. 除了最大的电源，忽略其他所有电源

答案: 每个电源求解一次电路，再把结果相加. 你每次只看一个电源，求出它产生的效果，最后把所有贡献相加。

2将电源置零

要单独研究一个电源，就要把其他电源置零。置零的意思是把电源的值设为零。

  • 设为 0 V 的电压源变成一根普通导线（短路）。
  • 设为 0 A 的电流源变成一个断口（开路）。
+−0 V0 A

只有电源被置零。每个电阻都保持在原来的位置不变。

这适用于由电阻和独立源组成的电路。这样的电路称为线性电路：电源加倍，它产生的一切效果也加倍。

自测 怎样将电流源置零？
  1. 去掉它旁边的电阻
  2. 用一个 1 Ω 电阻代替它
  3. 用开路（断口）代替它
  4. 用短路（导线）代替它

答案: 用开路（断口）代替它. 置零的电流源中电流为 0 A。无论电压多大，只有断口才能不让任何电流通过。

3你需要的工具

每个简化电路只有一个电源，所以可以用电阻的串并联来求解。

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

分压器是你最常用的工具。两个串联电阻按其大小比例分配电源电压：

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

知道任一电阻的电压后，再用欧姆定律 I = V/R 就能求出其中的电流。

自测 一个 12 V 电源给串联的 6 Ω 和 2 Ω 电阻供电。2 Ω 电阻两端的电压是多少？
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

答案: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V。较小的电阻分得较小的电压。

4分步方法

  1. 数一数独立源的个数。每个独立源你都要求解一个简化电路。
  2. 保留一个电源，将其他所有电源置零：电压源变成导线，电流源变成断口。
  3. 在简化电路中求所需的量。保持与题目中相同的方向（或相同的 + 和 −）。
  4. 对每个电源重复以上步骤。
  5. 把所有贡献带符号相加。方向相反的贡献计为负。

计算之前先画出每个简化电路。大多数错误都是因为一边看着原图，一边求解另一个电路。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

求该电路中流过 R3（向下）的电流 I3。

1

观察电路

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

有两个电源，V1 = 12 V 和 V2 = 6 V。所以要求解两个简化电路。

2

只有 V₁ 作用

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

用导线代替 V2。现在 R2 从节点 A 直接连到底部导线，所以 R2 和 R3 是并联的。

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

V₁ 的分压

V1 看到的是 R1 = 6 Ω 与 2 Ω 的并联对串联。A 点的电压就是 2 Ω 部分分得的电压：

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

只有 V₂ 作用

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

现在用导线代替 V1。R1 和 R3 并联：6·3/(6 + 3) = 2 Ω。

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1.5 V
I3″ = 1.5 V / 3 Ω = 0.5 A
5

叠加各分量

两个贡献都向下流过 R3，所以都为正。

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0.5 = 1.5 A
6

检验答案

两个电源同时作用时，VA = 3 + 1.5 = 4.5 V。从两侧流入 A 的电流分别为 (12 − 4.5)/6 = 1.25 A 和 (6 − 4.5)/6 = 0.25 A。

合计 1.5 A，恰好等于经 R3 流出的电流。答案正确。

答案

I3 = 1.5 A，向下流动。

6常见错误

  • 去掉电压源后留下断口。置零的电压源是一根导线。
  • 不检查方向就把各贡献相加。为每个贡献画一个箭头。
  • 用叠加定理计算功率。功率不是线性的：先求总电流，再求 P = I²·R。
  • 漏掉一个电源。有三个电源时就需要三个简化电路。
自测 在例题中，3 Ω 电阻中 I₃′ = 1 A，I₃″ = 0.5 A。R₃ 消耗的功率是多少？
  1. 2.25 W
  2. 3.75 W
  3. 4.5 W
  4. 6.75 W

答案: 6.75 W. 先把电流相加：1.5 A。然后 P = 1.5² · 3 = 6.75 W。把两个单独的功率相加（3 + 0.75 = 3.75 W）是错误的，因为功率不是线性的。

7考试题是什么样的

  • 简单：两个电压源和三个电阻。每个简化电路都是一个分压器。
  • 中等：一个电压源和一个电流源。记住置零的电流源变成断口。
  • 困难：三个电源，所求的量可以是节点电压或支路电流。

有些题目只给出测量值。例如：两个电源同时作用时电流为 6.5 mA，V2 置零时为 4.5 mA。那么 V2 单独产生 2 mA。

由于电路是线性的，V1 加倍时它的贡献也加倍。用这一点来预测电源变化后的电流。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

用叠加定理求 R3 两端按图示极性的电压 VR3。

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

求： VR3 (V)

显示提示
  1. 该电路有 2 个独立源，因此分别求解 2 个更简单的电路，每个电源一个。其余电源置零：电压源变为短路，电流源变为开路。
  2. 只有 V₁ 作用时，R₂ 和 R₃ 并联。用分压公式求节点 A 的电压。
  3. 只有 V1 作用时，VR3′ = 2.634 V。用同样方法求出另一个分量并相加。
显示答案和分步解答

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩA短路

情况 1 · V1 单独作用

V₂ 变为短路，因此 R₂ 现在从 A 接到地，与 R₃ 并联。

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1.714/(10+1.714) = 2.634 V
VR3′ = VA − 0 = 2.634 − 0 = 2.634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω短路R3​2 ΩA+−V2​18 V

情况 2 · V2 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 现在从 A 接到地，与 R₃ 并联。

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1.667/(12+1.667) = 2.195 V
VR3″ = VA − 0 = 2.195 − 0 = 2.195 V

叠加各分量

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2.634 + 2.195 = 4.829 V

结果为负表示实际上 极性与标注相反。

例题 2中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

用叠加定理求 R4 吸收的功率 PR4。

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

求： PR4 (W)

显示提示
  1. 该电路有 2 个独立源，因此分别求解 2 个更简单的电路，每个电源一个。其余电源置零：电压源变为短路，电流源变为开路。
  2. 用叠加定理求流过 R4 的电流 IR4，再取平方：P = I²R。
  3. 只有 V1 作用时，IR4′ = 0.07059 A。
显示答案和分步解答

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB开路

情况 1 · V1 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω
VA = 6·4.615/(15+4.615) = 1.412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1.412·12/20 = 0.8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0.8471 − 0)/12 = 0.07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

情况 2 · Is 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12.29 = 6.071 Ω
VB = Is·Req = 2·6.071 = 12.14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12.14·4.286/12.29 = 4.235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12.14 − 0)/12 = 1.012 A

把电流的各个贡献相加

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0.07059 + 1.012 = 1.082 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

PR4 = IR4²·R4 = 1.082²·12 = 14.06 W

答案

PR4 = 14.06 W

把各单独情况下的功率相加会得到 12.34 W，这是错误的。

例题 3困难
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

用叠加定理求 R2 两端按图示极性的电压 VR2。

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

求： VR2 (V)

显示提示
  1. 该电路有 3 个独立源，因此分别求解 3 个更简单的电路，每个电源一个。其余电源置零：电压源变为短路，电流源变为开路。
  2. 先只保留 V₁：将 V₂ 短路，Iₛ 开路。从 A 看去，R₃ 与 R₂+R₄ 并联。
  3. 只有 V1 作用时，VR2′ = 0.6379 V。用同样方法求出其他分量并相加。
显示答案和分步解答

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩA开路B短路

情况 1 · V1 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6.27 Ω
VA = 12·6.27/(10+6.27) = 4.625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4.625·25/29 = 3.987 V
VR2′ = VA − VB = 4.625 − 3.987 = 0.6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω短路R3​8 ΩAIs​1 AB短路

情况 2 · Is 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R1 ∥ R3 = 4.444 Ω，所以左侧路径为 R2+4.444 = 8.444 Ω
Req = R4 ∥ 8.444 = 6.312 Ω
VB = Is·Req = 1·6.312 = 6.312 V
VA = VB·4.444/8.444 = 3.322 V
VR2″ = VA − VB = 3.322 − 6.312 = −2.99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω短路R3​8 ΩA开路B+−V2​15 V

情况 3 · V2 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8.444/33.44 = 3.787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3.787·4.444/8.444 = 1.993 V
VR2‴ = VA − VB = 1.993 − 3.787 = −1.794 V

叠加各分量

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0.6379 + (−2.99) + (−1.794) = −4.146 V

结果为负表示实际上 极性与标注相反。

问与答

什么是叠加定理？

许多电路有不止一个电源：两节电池，或者一节电池和一个电流源。

一次性同时求解它们可能很难。叠加定理让你把问题拆成更简单的几部分。

叠加定理题目如何一步步求解？
  1. 数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
  2. 保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
  3. 在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
  4. 对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。
叠加定理有哪些常见错误？
  • 把电压源直接移除，而不是用导线代替。
  • 不检查方向就把各分量相加。
  • 用叠加定理计算功率：功率不是线性的，所以要先求总电流，再求功率。
叠加定理练习包括哪些内容？
  • 简单: 2 个电压源
  • 中等: 电压源 + 电流源
  • 困难: 3 个电源

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 你的进度、错题和收藏的题目都会保留，方便考前复习。

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