RC 和 RL 暂态：练习题及分步解答

1什么是瞬态

在只有电阻的电路中合上开关时，每个电流都立刻跳到新的值。

电容或电感改变了这一点。它们储存能量，而储存的能量不可能在零时间内改变。所以电路从旧状态平滑地过渡到新状态。

这种平滑的变化称为瞬态（暂态）。一段时间后电路稳定下来，不再有任何变化。

想象通过一根细软管给桶注水。桶是电容，细软管是电阻。水位起初上升很快，随着桶渐渐变满，上升得越来越慢。

2开始和结束时的电容和电感

每个元件你只需要两条规则：什么量不能跳变，以及一切稳定之后它的行为。

• 电容：它的电压 v_C 不能跳变。开关动作很久之后，没有电流流入它，所以它相当于开路（一个缺口）。
• 电感：它的电流 i_L 不能跳变。开关动作很久之后，它两端没有电压，所以它相当于短路（一根导线）。

开关动作之后瞬间的值是初始值 x(0)。稳定之后的值是终值 x(∞)。

对于由电源 V_s 充电的电容：v_C(0) = 0，v_C(∞) = V_s。对于电感：i(0) = 0，i(∞) = V_s/R。

3时间常数

变化有多快由一个数决定，即时间常数 τ（tau）。

单位：kΩ 乘以 µF 得到毫秒。mH 除以 Ω 也得到毫秒。

每个电压和电流在其初始值和终值之间都遵循同一条指数曲线：

• 经过 1τ，变化完成了 63%。经过 2τ 是 86%，经过 3τ 是 95%。
• 大约经过 5τ，电路在实际应用上已经稳定。

对于从 0 V 开始充电的电容，公式变为：

4分步方法

1. 求开关动作后瞬间的初始值 x(0)。用规则：v_C 和 i_L 不能跳变。
2. 求终值 x(∞)。把电容换成缺口、电感换成导线，然后解直流电路。
3. 求时间常数：τ = R·C 或 τ = L/R，使用电容或电感所见到的电阻。
4. 把这三个值代入 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。
5. 代入时间 t（与 τ 使用相同的单位）并计算。

如果题目问的是时间，就对同一个公式解出 t。你需要用到自然对数 ln。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 当电容已经有电压时，仍使用充电公式 V_s·(1 − e^−t/τ)。要使用含 x(0) 的通用公式。
• 混淆单位：kΩ 乘以 µF 是毫秒，不是秒。让 t 和 τ 使用相同的单位。
• 回答 V_s·e^−t/τ。那是还缺少的部分（或电阻电压），不是电容电压。
• 在 τ 中使用错误的电阻。要使用电容或电感所见到的电阻。

7考试题是什么样的

• 简单：像例题那样从 0 V 开始的 RC 充电。求 τ 或给定时间的电容电压。
• 中等：电感电流从 0 开始的 RL 电路。求 i(t) = (V_s/R)·(1 − e^−t/τ)、电感电压 v_L = V_s·e^−t/τ，或达到终值电流某一百分比所需的时间。
• 困难：已经带有电压的电容。求给定时间的 v_C，或达到给定电压所需的时间。

要求时间，把通用公式变形：

当 τ = L/R 时，mH 除以 Ω 得 ms。所以 50 mH 的电感配 10 Ω 的电阻，τ = 5 ms。