LC 谐振、Q 因数与带宽：练习题及分步解答

免费的LC 谐振、Q 因数与带宽练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：固有频率、Q 与能量, 串联与并联 RLC, 设计、损耗与衰减。

免费练习题简单
C = ?L = 4.7 mH

一个 L = 4.7 mH 的 LC 电路必须在 50 kHz 谐振。求电容 C，单位 nF。

L = 4.7 mHf0 = 50 kHz
nF
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免费练习LC 谐振、Q 因数与带宽立即练习LC 谐振、Q 因数与带宽每天 5 道免费题目，无需绑定银行卡。

练习内容

  1. 简单固有频率、Q 与能量
  2. 中等串联与并联 RLC
  3. 困难设计、损耗与衰减

如何求解LC 谐振、Q 因数与带宽问题

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

常见错误

  • 混淆 ω₀（rad/s）与 f₀（Hz）：二者相差 2π。
  • 在并联电路中使用串联的 Q 公式，而并联时 R 越大 Q 越高。
  • 把 f₀ 放在 f₁ 与 f₂ 的正中间：它是二者的几何平均值 √(f₁f₂)。
  • 忘记把 µH、nF 和 pF 换算为 H 和 F。

关键公式

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

从零开始学习LC 谐振、Q 因数与带宽

学习本课之前： 交流阻抗和相量

1LC 电路中发生了什么

给电容器充电，并把它接到电感上。电容器驱动电流通过线圈。电流建立磁场，当电容器放完电时，磁场使电流继续流动，于是电容器反向充电。然后一切反向重复。

C+−Li

能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间来回转移，就像摆在高度与速度之间摆动。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变。

自测 在电容器电压为零的时刻，理想 LC 电路的能量在哪里？
  1. 一半在 C 中，一半在 L 中
  2. 全部在电容器中
  3. 全部在电感中，电流达到峰值
  4. 已经以热的形式损失了

答案: 全部在电感中，电流达到峰值. v = 0 时电容器储存的 ½Cv² = 0，所以全部能量都是电感中的 ½Li²：电流最大。理想电路没有电阻，因此不会损失任何能量。

2固有频率

电路在 L 与 C 的电抗相等的频率上振荡，即 ωL = 1/(ωC)：

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

当 L = 10 mH、C = 1 µF 时：LC = 10⁻⁸ s²，ω0 = 10 000 rad/s，f0 = 1592 Hz。能量在四分之一周期 T = 1/f0 内从 C 转移到 L。

能量也给出峰值电流：½CV0² = ½LImax²，所以 Imax = V0√(C/L)。

自测 把 C 加倍时 f0 会怎样？
  1. 减半
  2. 加倍
  3. 升高到 √2 倍
  4. 降为 f0/√2，约为 0.71·f0

答案: 降为 f0/√2，约为 0.71·f0. f0 与 1/√C 成正比，所以 C 加倍会使它除以 √2。只有当 C 增大到四倍时，它才减半。

3Q 因数与带宽

实际电路会在电阻中损失能量。品质因数 Q 把储存的能量与损耗相比：Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。Q 高则谐振峰尖锐。

f|I|0.707f0​f1​f2​BW

带宽是半功率频率 f1 与 f2 之间峰的宽度，在这两个频率上电流为峰值的 0.707：

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • 串联 RLC：Q = (1/R)·√(L/C)，BW = R/(2πL)。串联电阻小则 Q 高。
  • 并联 RLC：Q = R·√(C/L)，BW = 1/(2πRC)。并联电阻大则 Q 高。

4分步方法

  1. 把 L 和 C 换算为 H 和 F，然后求 ω0 = 1/√(LC) 和 f0 = ω0/(2π)。
  2. 判断 R 是串联还是并联，并使用对应的 Q 公式。
  3. 求带宽 BW = f0/Q。
  4. 半功率频率用 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))；Q 较高时，f0 ∓ BW/2 与之相近。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一个串联 RLC 电路的 R = 10 Ω，L = 10 mH，C = 1 µF。求它的谐振频率、品质因数、带宽和半功率频率。

1

观察电路

RLC

三个元件通过相同的电流，所以这是串联电路。

2

谐振频率

f0 = 1/(2π√(0.01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

品质因数

Q = (1/10)·√(0.01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

带宽

BW = f0/Q = 1592/10 = 159.2 Hz

检验：R/(2πL) = 10/(2π·0.01) = 159.2 Hz。

5

半功率频率

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0.05) = 1514 Hz 和 1673 Hz

检验：1673 − 1514 = 159 Hz，且 √(1514·1673) = 1592 Hz。

答案

f0 = 1.59 kHz，Q = 10，BW = 159 Hz，f1 = 1.51 kHz，f2 = 1.67 kHz。

6常见错误

  • 混淆以 rad/s 为单位的 ω0 与以 Hz 为单位的 f0：二者相差 2π。
  • 在并联电路中使用串联的 Q 公式。
  • 把 f0 放在 f1 与 f2 的正中间：它是二者的几何平均值。
  • 忘记把 mH、µH、nF 和 pF 换算为 H 和 F。
自测 一个并联 RLC 电路的 R = 10 kΩ，L = 10 mH，C = 1 µF。它的 Q 是多少？
  1. 0.01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

答案: 100. 并联时 Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100。串联公式 (1/R)·√(L/C) 得到 0.01，漏掉平方根则得到 1。

7考试题是什么样的

  • 简单：固有频率、Q 和能量。求 f0 或给定 f0 所需的 C、由 Q 求带宽或由带宽求 Q、储存的能量或峰值电流。
  • 中等：串联与并联 RLC。求串联或并联电路的 Q 或带宽、精确的半功率频率、能量从 C 转移到 L 所需的时间，或给定电容器电压时电感中的能量。
  • 困难：设计、损耗与衰减。为给定带宽选取 R 或为滤波器选取 C、求每周期损失的能量、谐振回路的动态电阻、振幅减半所需的周期数，或由两个半功率频率求 Q。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
C = ?L = 47 µH

一个 L = 47 µH 的 LC 电路必须在 500 kHz 谐振。求电容 C，单位 nF。

L = 47 µHf0 = 500 kHz

求： C (nF)

显示提示
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s.
显示答案和分步解答

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

角频率

ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s

电容

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9.87 × 10¹²·4.7 × 10⁻⁵) = 2.156 × 10⁻⁹ F = 2.156 nF

答案

C = 2.156 nF
例题 2中等
V2 Ω2.2 mH220 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 2 Ω，L = 2.2 mH，C = 220 nF。求它的带宽 BW，单位 Hz。

R = 2 ΩL = 2.2 mHC = 220 nF

求： BW (Hz)

显示提示
  1. 带宽是 f₀/Q。
  2. 对串联 RLC，这可简化为 BW = R/(2πL)：C 消去了。
  3. R/L = 909.1 rad/s.
显示答案和分步解答

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 2/0.0022 = 909.1 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 909.1/(2π) = 144.7 Hz = 144.7 Hz

答案

BW = 144.7 Hz

当 f₀ = 7.234 kHz 时，得到 Q = 50。

例题 3困难
C = 10 nFr = 0.5 ΩL = 47 µH

一个并联谐振回路由一个 10 nF 电容器和一个绕组电阻为 0.5 Ω 的 47 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 47 µHC = 10 nFr = 0.5 Ω

求： RD (kΩ)

显示提示
  1. 谐振时回路只吸取很小的电流，所以它的阻抗很大。
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
显示答案和分步解答

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 4.7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0.5) = 9400 Ω = 9.4 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 137.1, Q²·r = 9400 Ω

答案

RD = 9.4 kΩ

问与答

什么是LC 谐振、Q 因数与带宽？

给电容器充电，并把它接到电感上。电容器驱动电流通过线圈。电流建立磁场，当电容器放完电时，磁场使电流继续流动，于是电容器反向充电。然后一切反向重复。

能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间来回转移，就像摆在高度与速度之间摆动。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变。

LC 谐振、Q 因数与带宽题目如何一步步求解？
  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。
LC 谐振、Q 因数与带宽有哪些常见错误？
  • 混淆 ω₀（rad/s）与 f₀（Hz）：二者相差 2π。
  • 在并联电路中使用串联的 Q 公式，而并联时 R 越大 Q 越高。
  • 把 f₀ 放在 f₁ 与 f₂ 的正中间：它是二者的几何平均值 √(f₁f₂)。
  • 忘记把 µH、nF 和 pF 换算为 H 和 F。
LC 谐振、Q 因数与带宽练习包括哪些内容？
  • 简单: 固有频率、Q 与能量
  • 中等: 串联与并联 RLC
  • 困难: 设计、损耗与衰减

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
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